[論文レビュー] Defining SLE in multiply connected domains with the Brownian loop measure

Gregory F. Lawler|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、$\kappa \leq 4$ に対して、ブラウン運動ループ測度を用いて、多様な連結領域におけるシュラム・ロエーヴァー過程（SLE）を定義し、共形的コバリアンスとドメイン・マルコフ性を確立する。アニュラスにおける分配関数のPDEを新たに導出し、斉藤の最近の構成と同等であることを示し、小さな摂動を伴う熱方程式に従う分配関数の明示的な漸近的挙動を特定する。

ABSTRACT

We define the Schramm-Loewner evolution (SLE) in multiply connected domains for kappa \leq 4 using the Brownian loop measure. We show that in the case of the annulus, this is the same measure obtained recently by Dapeng Zhan. We use the loop formulation to give a different derivation of the partial differential equation for the partition function for the annulus.

研究の動機と目的

• 多様な連結領域、特に $\kappa \leq 4$ の場合（そのとき曲線は単純かつ共形的不変性を有する）におけるSLEの定義を拡張すること。
• ブラウン運動ループ測度を基本的ツールとして用いて、そのような領域におけるSLEの整合的な枠組みを確立すること。
• ループ測度の定式化を用いて、アニュラスにおける分配関数の偏微分方程式を導出すること。
• 得られた測度が、アニュラスの場合に最近の構成である達朋斉藤の測度と一致することを示すこと。
• 確率論的およびPDE的手法（カップリング、フェインマン＝カック表現など）を用いて、分配関数の漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• 本稿は、共形的不変性および制限性を有するブラウン運動ループ測度を用いて、多様な連結領域における $SLE_\kappa$ を定義する。
• 分配関数 $\Psi_D(z,w)$ は、中心電荷 $\mathbf{c}$ から導かれるスケーリング指数 $b$ と $\tilde{b}$ を用いた共形的コバリアンスによって定式化される。
• ループ測度は、境界の摂動におけるRadon-Nikodym微分を表現するのに用いられ、$m_D(\gamma, D\setminus D_1)$ として表される。ここで $m_D(\gamma, D\setminus D_1)$ は、曲線 $\gamma$ と部分領域の補集合の両方と交差するループの測度を表す。
• 分配関数のPDEにフェインマン＝カック表現を適用し、摂動項を標準的な熱方程式に対する小さな補正項とみなす。
• カップリング技法を用いて、異なる時刻における解を比較し、アニュラス全体にわたる分配関数の差の指数的減衰を確立する。
• 時間変換を施したオルンシュタイン＝ウーレンベック過程と、ドリフト項および拡散項の推定を用いて、$\Psi_{A_r}(1,e^{-r+ix})$ の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動ループ測度を用いて、多様な連結領域、特に $\kappa \leq 4$ の場合におけるSLEを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 アニュラスにおいて、ループ測度に基づく $SLE_\kappa$ の定義は、達朋斉藤の最近の構成と一致するか？
• RQ3 アニュラスにおける分配関数を支配するPDEは何か？ そして、そのPDEはどのようにしてループ測度の定式化から導かれるか？
• RQ4 アニュラスのモジュラスが増加する際、分配関数はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ5 分配関数が無限遠で定数に収束するという性質は、指数的誤差境界を伴って定量的に評価可能か？

主な発見

• ループ測度に基づく多様な連結領域における $SLE_\kappa$ の定義は、共形的コバリアンス、ドメイン・マルコフ性、および可逆性を満たしており、単一連結領域における既知の性質と整合的である。
• アニュラスにおいて、得られた測度は達朋斉藤の構成と一致し、分野における最新の知見と整合性を確認する。
• 分配関数 $\Psi_{A_r}(1,e^{-r+ix})$ は、ドリフト項 $\mathbf{H}_I(r,x)$ とポテンシャル項 $b\mathbf{H}_I'(r,x)$ を持つPDEを満たし、両項とも $O(e^{-r})$ のオーダーである。
• 分配関数の漸近的挙動は、$r \to \infty$ のとき正の定数 $K_\infty$ に収束し、誤差が $c e^{-ur}$（$u>0$）で有界であることが示された。
• カップリングを用いた二つの独立過程の比較により、分配関数の差が $r$ に関して指数的に減少することが示され、収束が確立された。
• すべての $r \geq 1$、$x \in \mathbb{R}$ に対して、分配関数はゼロおよび無限大から一様に離れているため、アニュラス幾何における正則性と安定性が確認された。