[論文レビュー] Defining Z in Q

Jochen Koenigsmann|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、整数環 ℤ が有理数体 ℚ において、唯一の全称量化子を含む ∀∃-論理式を用いて定義可能であることを確立している。また、ノルム写像の像の補集合を含む、ℚ の新たなディオファントス的集合を構成し、ボンビエリ＝ラング予想の強い亜種の下で、ℤ が ℚ において存在記述可能に定義可能でないことを証明している。

ABSTRACT

We show that ${\mathbb Z}$ is definable in ${\mathbb Q}$ by a universal first-order formula in the language of rings. We also present an $\forall\exists$-formula for ${\mathbb Z}$ in ${\mathbb Q}$ with just one universal quantifier. We exhibit new diophantine subsets of ${\mathbb Q}$ like the complement of the image of the norm map under a quadratic extension, and we give an elementary proof of the fact that the set of non-squares is diophantine. Finally, we show that there is no existential formula for ${\mathbb Z}$ in ${\mathbb Q}$, provided one assumes a strong variant of the Bombieri-Lang Conjecture for varieties over ${\mathbb Q}$ with many ${\mathbb Q}$-rational points.

研究の動機と目的

• 整数環 ℤ が、環の言語における一階論理を用いて、有理数体 ℚ において定義可能である特性を確立すること。
• 特に、ノルム像の補集合や非平方数の集合を含む、ℚ の明示的なディオファントス的集合を構成すること。
• ℚ における ℤ の定義の論理的複雑性を調査すること、特に存在記述可能論理式が存在するか否か。
• ボンビエリ＝ラング予想の影響が、ℚ における ℤ の定義可能性に与える意味を検討すること。

提案手法

• 環の言語におけるモデル理論的技法を用いて、ℚ における ℤ を全称一階論理式によって定義すること。
• 唯一の全称量化子を含む、ℚ における ℤ の ∀∃-論理式を構成し、論理的複雑性を低減すること。
• 二次拡大におけるノルム写像の像の補集合が、ℚ においてディオファントス的集合であることを示すこと。
• 有理数における非平方数の集合が、初等的証明によりディオファントス的であることを示すこと。
• 強いボンビエリ＝ラング予想の亜種を適用し、ℚ における ℤ の存在記述可能論理式の存在を排除すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ は、有理数体 ℚ において、全称一階論理式によって定義可能か？
• RQ2 ℚ における ℤ に対して、唯一の全称量化子を含む ∀∃-論理式が存在するか？
• RQ3 ノルム像の補集合のような、新たな ℚ のディオファントス的集合（例えば、ノルム像の補集合）を構成可能か？
• RQ4 有理数における非平方数の集合が、初等的手段によってディオファントス的であることを示せるか？
• RQ5 ℚ における ℤ の存在記述可能論理式の存在が、ボンビエリ＝ラング予想の強い亜種と矛盾するか？

主な発見

• 整数環 ℤ は、環の言語における全称一階論理式によって、有理数体 ℚ において定義可能である。
• 唯一の全称量化子を含む、ℚ における ℤ の ∀∃-論理式が構成され、論理的効率性が向上した。
• 二次拡大におけるノルム写像の像の補集合が、ℚ のディオファントス的集合であることが示された。
• 有理数における非平方数の集合が、初等的議論によってディオファントス的であることが証明された。
• 強いボンビエリ＝ラング予想の亜種の下では、ℚ における ℤ の存在記述可能論理式は存在しない。