[論文レビュー] Deflated BiCGStab for linear equations in QCD problems

Abdou Abdel-Rehim, Ronald B. Morgan+1 more|ArXiv.org|Oct 10, 2007

Matrix Theory and Algorithms参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多次元右辺および複数のシフトを伴う格子量子色力学（QCD）における大規模・複素線形系の解法のために、Deflated BiCGStab（D-BiCGStab）を提案する。左および右固有ベクトルを、ウィルソンフェルミオンにおけるγ₅対称性を介して右固有ベクトルから導出することで、初期推定値に投影することにより、収束を加速する。近臨界κ問題では、行列-ベクトル積を約5倍減少させ、複数質量を伴うねじれ質量QCDでは20–50%の削減を達成する。

ABSTRACT

The large systems of complex linear equations that are generated in QCD problems often have multiple right-hand sides (for multiple sources) and multiple shifts (for multiple masses). Deflated GMRES methods have previously been developed for solving multiple right-hand sides. Eigenvectors are generated during solution of the first right-hand side and used to speed up convergence for the other right-hand sides. Here we discuss deflating non-restarted methods such as BiCGStab. For effective deflation, both left and right eigenvectors are needed. Fortunately, with the Wilson matrix, left eigenvectors can be derived from the right eigenvectors. We demonstrate for difficult problems with kappa near kappa_c that deflating eigenvalues can significantly improve BiCGStab. We also will look at improving solution of twisted mass problems with multiple shifts. Projecting over previous solutions is an easy way to reduce the work needed.

研究の動機と目的

• 格子QCDにおいて、複数の右辺を伴う大規模・複素線形系を解く際、標準的BiCGStabの収束が遅い問題に対処すること。
• 再起動しないKrylov法（例：BiCGStab）に対し、以前は再起動GMRESにのみ適用されていた定義手法を拡張し、効率性を向上させること。
• 複数のシフトおよび偶奇プリコンディショニングを伴うねじれ質量フェルミオン問題の収束を改善すること。
• 特にウィルソンフェルミオン系において、左固有ベクトルが右固有ベクトルから容易に導出可能な性質を活用し、左および右固有ベクトルの両方を用いた効果的な定義を実現すること。
• 以前に計算された解を基にした最小残差射影により、初期推定値を改善することで、計算コストを低減すること。

提案手法

• 最初の右辺を解くためにGMRES-DRを用い、小さな固有値に対応する近似右固有ベクトルを抽出する。
• ウィルソンディラック作用素に対して成り立つγ₅対称性γ₅A_Wγ₅ = A_W†を用いて、右固有ベクトルから左固有ベクトルを導出する。
• 正規直交化された左および右固有ベクトル行列UおよびVを用いて、k次元の定義部分空間を構築する。
• 小規模なk×k系U†AVy = U†r₀を解き、改善された初期推定値x₀⁺ = x₀ + Vyを求めるための係数yを計算する。
• 定義された初期推定値を用いて、標準的BiCGStabを適用し、以降の右辺を効率的に解く。
• ねじれ質量問題では、各新しいシフトに対して、以前に計算された解を基にした最小残差射影を適用し、初期推定値を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非再起動Krylovソルバー（例：BiCGStab）に定義を効果的に適用できるか、特に格子QCDにおける複数の右辺を伴う問題において。
• RQ2 右固有ベクトルのみでなく、左および右固有ベクトルの両方を用いた定義が、右固有ベクトルのみを用いる場合に比べて収束を著しく改善するか。
• RQ3 GMRES-DRから得られる固有ベクトルの精度が、近臨界κ QCD問題におけるD-BiCGStabの性能にどのように影響するか。
• RQ4 過去の解を基にした射影による定義が、複数のシフトを伴うねじれ質量フェルミオン問題において、行列-ベクトル積の数を削減できるか。
• RQ5 シフト系の解法順序（最も重い質量から最も軽い質量へ、またはその逆）が、射影に基づく初期推定値改善の性能に影響を与えるか。

主な発見

• 16⁴および20³×32格子における近臨界κ問題では、D-BiCGStabが高精度な固有ベクトル（L3ケース）を用いることで、行列-ベクトル積を約5倍に削減した。
• 固有ベクトルの精度が向上するにつれ収束改善が顕著に現れ、最初の右辺の収束における残差ノルム（L3では10⁻¹⁴）が精度指標として有効であった。
• 11個の質量値を伴うねじれ質量フェルミオン問題では、過去の解を基にした射影により、合計の行列-ベクトル積を20–50%削減（8,540から5,180–5,870に）した。
• 解法順序が重い質量から軽い質量へ、またはその逆であっても、射影法は同程度の削減効果を示し、有効であった。
• ウィルソンフェルミオンでは、左固有ベクトルが右固有ベクトルにγ₅乗算を施すことで容易に得られるため、追加作業が不要であった。
• κ_cに近い困難な問題では、左および右固有ベクトルの両方を用いた定義が不可欠であり、右固有ベクトルのみの射影では、小さな固有値方向の成分を十分に削減できなかった。