[論文レビュー] Deflated Iterative Methods for Linear Equations with Multiple Right-Hand Sides

Ronald B. Morgan, Walter Wilcox|ArXiv.org|May 20, 2004

Matrix Theory and Algorithms参考文献 39被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、複数の右辺を伴う大規模で非対称な線形方程式系を解くための、反復的で定義付きの手法を提案する。最初のGMRES-DR解法で得られた固有ベクトル情報を用いて、以降の解法を高速化する。後続のシステムを事前に計算された近似固有ベクトルの部分空間に射影することで、収束が著しく向上する。特に小さな固有値を有する問題において顕著であり、量子色力学（QCD）の応用例では、標準的な再起動付きGMRESと比較して10倍の高速化が達成された。

ABSTRACT

A new approach is discussed for solving large nonsymmetric systems of linear equations with multiple right-hand sides. The first system is solved with a deflated GMRES method that generates eigenvector information at the same time that the linear equations are solved. Subsequent systems are solved by combining an iterative method with a projection over the previously determined eigenvectors. Restarted GMRES is considered for the iterative method as well as non-restarted methods such as BiCGSTAB. These methods offer an alternative to block methods, and they can also be combined with a block approach. An example is given showing significant improvement for a problem from quantum chromodynamics.

研究の動機と目的

• 小さな固有値が収束を妨げる場合に、大規模で非対称な複数の右辺を伴う線形方程式系を効率的に解く課題に対処すること。
• 標準的なブロック法や再起動付きKrylov法の限界を乗り越えるために、最初のシステムの解法中に得られる固有ベクトル情報を活用し、以降の解法を高速化すること。
• すべての右辺を一度に入手する必要がない実用的で、侵入的でないアプローチを開発すること。
• 特に、このような方程式系が一般的で計算コストの高い、格子量子色力学（QCD）を含む実世界の問題において、有効性を示すこと。

提案手法

• 最初の右辺を解くためにGMRES-DR（定義付き再起動付きGMRES）を用い、同時に小さな固有値に対応する近似固有ベクトルを生成する。
• 後続の右辺を、計算済みの近似固有ベクトルが張る部分空間に最小残差（minres）射影により投影し、問題となる固有モードを定義する。
• サイクルごとに再起動付きGMRESを適用し、定義を組み込む。GMRES-DRから得られる調和リーツベクトルを用いて、収束性が向上したKrylov部分空間を再起動する。
• BiCGSTABなどの非再起動法と定義を組み合わせるには、左および右の近似固有ベクトルの両方に射影することで収束を加速する。
• 固有ベクトルの生成段階と複数の右辺を同時に解く段階の両方で定義を統合することで、ブロック法に定義を組み込む。
• 最小限のメモリオーバーヘッドで近似固有ベクトルを効率的に保存・更新するため、アーノルドイドに類似した再帰的関係（AV_k = V_{k+1}H̄_k）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最初の右辺を解く過程で得られる固有ベクトル情報を、複数の右辺を伴う以降のシステムの解法に効果的に再利用できるか？
• RQ2 近似固有ベクトルの射影による定義は、標準的なブロック法と比較して収束速度と計算コストの点でどのように異なるか？
• RQ3 定義をBiCGSTABなどの非再起動反復法と組み合わせることは可能か？その組み合わせに必要な条件は何か？
• RQ4 格子量子色力学（QCD）のような実世界の問題において、小さな固有値を有する問題に対して定義はどれほど性能を向上させるか？
• RQ5 QCDで一般的なシフト付き線形方程式系に定義を拡張でき、1つのシステムの近接コストで複数のシフト付きシステムを解くことが可能か？

主な発見

• 格子QCD問題において、提案されたGMRES-Proj法は、標準的な再起動付きGMRESと比較して収束速度が10倍向上した。
• 定義付きブロック-GMRES-DR(1220,40,20)は、40個の右辺に対してたった2400回の行列・ベクトル積で解け、非ブロック版を上回る行列・ベクトル積の回数で性能を発揮した。
• 定義付きブロック-QMRでは、10個の右辺に対して10⁻⁶の許容誤差で行列・ベクトル積を1782回から1384回に削減（22％削減）、10⁻⁴の許容誤差では1782回から1076回に削減（31％削減）した。
• 左および右の固有ベクトルを10個使用した定義により、3個の右辺に対してブロック-QMRの行列・ベクトル積を922回から538回に削減（41.7％削減）。
• すべての右辺を一度に必要としないため、システムを逐次的に解くことが可能になり、固有ベクトル情報の再利用が可能である。
• BiCGSTABとの定義組み合わせには、左および右の両方の固有ベクトルが必要であり、QCD問題では右固有ベクトルを計算した後にそれらが容易に入手可能であるため、実用的な応用が可能である。