[論文レビュー] Deflation and Certified Isolation of Singular Zeros of Polynomial Systems

Angelos Mantzaflaris, Bernard Mourrain|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所環の構造と信頼性のある数値計算を活用して、多項式系の特異的で孤立した零点を証明するための記号的・数値的アルゴリズムを提示する。改良された逆系計算により中間線形系のサイズを削減し、微分を用いた1段階の退化除去技術を導入することで、ニュートン法ソルバーにおける2次収束性を回復させ、区間演算を用いた一意性の証明を可能にする。

ABSTRACT

We develop a new symbolic-numeric algorithm for the certification of singular isolated points, using their associated local ring structure and certified numerical computations. An improvement of an existing method to compute inverse systems is presented, which avoids redundant computation and reduces the size of the intermediate linear systems to solve. We derive a one-step deflation technique, from the description of the multiplicity structure in terms of differentials. The deflated system can be used in Newton-based iterative schemes with quadratic convergence. Starting from a polynomial system and a small-enough neighborhood, we obtain a criterion for the existence and uniqueness of a singular root of a given multiplicity structure, applying a well-chosen symbolic perturbation. Standard verification methods, based eg. on interval arithmetic and a fixed point theorem, are employed to certify that there exists a unique perturbed system with a singular root in the domain. Applications to topological degree computation and to the analysis of real branches of an implicit curve illustrate the method.

研究の動機と目的

• 係数が近似値または悪条件である場合に、多項式系における特異的で孤立した解を証明する課題に対処すること。
• 多重性構造を用いて、複数解に対してニュートン型ソルバーの収束性を回復させるための、系の退化除去による手法の開発。
• 記号的摂動と区間演算を用いて、与えられた領域内での存在性と一意性を保証する、特異的解の認証的検証の提供。
• 重複計算を回避し、中間線形系のサイズを最小限に抑えることで、逆系計算の計算コストを低減すること。
• 特異点における陰関数曲線・曲面の位相的解析を可能にするために、特異点における実分岐数の計算。

提案手法

• 本手法は、重複計算を回避する改良された逆系アルゴリズムを用いて、特異的解における多項式系の双対的構造を計算する。
• 多重性構造に基づき、双対空間からの微分作用素を元の式に作用させることで、1段階の退化除去系を導出する。
• 双対基底の信頼性のある数値的計算をモアインの積分技法を用いて行い、精度を保証することで、退化除去系を構築する。
• 特異的解を正確な多重解に変換するため、記号的摂動を適用し、認証を可能にする。
• 存在性と一意性の検証は、区間演算と不動点定理を用いて実施する。
• 双対空間上の乗法作用素のトレースを用いて、特異点における位相的次数と実分岐数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式系の特異的で孤立した零点の多重性構造を、どのように効率的に計算できるか？
• RQ2 複数解に対してニュートン法の2次収束性を回復させるために、最も効果的な退化除去系の構築法は何か？
• RQ3 数値近似と記号的摂動のみを用いて、特異的解の存在性と一意性をどのように認証できるか？
• RQ4 逆系を計算するにあたり、必要な中間線形系の最小サイズは何か？ そして、そのサイズをどのように削減できるか？
• RQ5 代数的不変量を用いて、特異点における陰関数曲線の実分岐数をどのように計算できるか？

主な発見

• 提案手法による逆系計算は、マカウレイの手法と比較して中間線形系のサイズを削減し、例6.2では30×15のマカウレイの手法と比較して9×9の行列を用いる。
• 例7.1では、本手法は9×8の行列を用いて21本の式からなる退化除去系を計算するが、マカウレイの手法では30×15の行列が必要となる。
• 多重度131の系DZ1に対して、本手法は1450×524の行列を用いるが、マカウレイの手法は4004×1365の行列を必要とする。
• 本手法は特異点における実分岐数を正しく計算できており、例6.2ではtdeg = 3から導かれるBr(f, (0,0)) = 6が得られている。
• 例7.2では、多重度18の解に対して206×45の行列を用いるが、マカウレイの手法では360×165の行列を必要とする。著しいサイズ削減が確認された。
• 本手法は低深さ構造で停止することで部分的退化除去を可能とし、例7.2では3本の式からなる退化除去系を構築でき、ヤコビアン行列式の非ゼロ値64により検証された。