[論文レビュー] Deflation and Flexible SAP-Preconditioning of GMRES in Lattice QCD Simulation

Andreas Frommer, Andrea Nobile+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Matrix Theory and Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本論文では、格子QCDシミュレーションにおける悪条件な線形方程式系、特に臨界 hopping parameterに近い領域で生じる問題を解くために、柔軟なSAPプリコンディショナーを用いた、再起動付きのデフレート・フレキシブルなGMRES（FGMRES-DR）を提案する。リスタート間でリツ・ベクトルを保持することで、標準の再起動付きGMRESが失敗する状況でも収束を可能にし、k ≤ 6という非常に小さいデフレート部分空間次元で大規模な設定においても安定した性能を達成する。

ABSTRACT

The simulation of lattice QCD on massively parallel computers stimulated the development of scalable algorithms for the solution of sparse linear systems. We tackle the problem of the Wilson-Dirac operator inversion by combining a Schwarz alternating procedure (SAP) in multiplicative form with a flexible variant of the GMRES-DR algorithm. We show that restarted GMRES is not able to converge when the system is poorly conditioned. By adding deflation in the form of the FGMRES-DR algorithm, an important fraction of the information produced by the iterates is kept between successive restarts leading to convergence in cases in which FGMRES stagnates.

研究の動機と目的

• 格子QCDシミュレーションにおける悪条件なウィルソン＝ディラック作用素系に対して、再起動付きGMRESの収束が著しく悪い問題に対処する。
• 臨界 hopping parameter κc に近い系を解く際の再起動付きGMRESにおける停滞を克服する。
• 現代のスーパーコンピュータの深いつながりのあるメモリ階層と多数のコアを考慮した、スケーラブルでハードウェアに配慮したソルバーを開発する。
• ハイブリッドモンテカルロシミュレーションにおける例外的難易度の高い設定で、標準的手法が失敗する状況でも収束を可能にする。
• フレキシブルなSAPプリコンディショニングとデフレートを組み合わせることで、反復回数とメモリ使用量を削減し、ソルバーの性能を最適化する。

提案手法

• ウィルソン＝ディラック作用素に対して、乗法的スワーツ反復法（SAP）を柔軟なプリコンディショナーとして適用する。
• 再起動付きFGMRES-DRを用いて線形方程式系を解き、リスタート間でリツ・ベクトルをデフレートにより保持する。
• リスタート間で情報を再利用できる次元k（≤6）のデフレート部分空間を実装し、収束の安定性を向上させる。
• QPACEアーキテクチャに最適化されたハードウェア効率に基づき、SAPパラメータ（部分領域サイズ、SAP反復回数）を調整する。
• Krylov部分空間反復中に変動するプリコンディショナーを許容できる、GMRES-DRのフレキシブルなバージョンを統合する。
• 計算コストとメモリ使用量を最小限に抑えつつ収束を維持できるように、サイクル長mとデフレート次元kのバランスを取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デフレート付き再起動付きFGMRESは、悪条件な格子QCD系を解く際、標準の再起動付きGMRESが停滞する状況を克服できるか？
• RQ2 臨界 hopping parameter κc に近いウィルソン＝ディラック作用素の逆行列計算において、デフレートは収束速度とロバストネスにどのように影響を与えるか？
• RQ3 収束性とメモリ使用量の観点から、デフレート部分空間次元kとサイクル長mの最適なトレードオフは何か？
• RQ4 フレキシブルなSAPプリコンディショニングとデフレートを組み合わせることで、現代のHPCアーキテクチャでスケーラブルな性能を達成できるか？
• RQ5 デフレートにより、標準的なソルバーが失敗する例外的に難しい設定でも収束が可能になるか？

主な発見

• 標準の再起動付きGMRESが停滞する系において、デフレートにより収束が可能になる。特に臨界 hopping parameter κc に近い領域で顕著である。
• κ = 0.13670（臨界に近い）の場合、デフレートなしでは2869反復（623.6秒）、m=48、k=4でデフレートありでは409反復（92.3秒）に削減された。
• k=6、m=24の場合、κ=0.13668では325反復（73.7秒）で収束したが、デフレートなしでは3464反復（741.9秒）を要した。
• テストしたすべての設定でデフレート部分空間次元k=6で十分であったため、顕著な性能向上に対しては最小限のオーバーヘッドで実現可能である。
• より小さなサイクル長（m=16–24）でもデフレートにより十分な収束が達成可能であり、アーノルドイ過程のコストとメモリ使用量が大きなmに比べて削減された。
• ウォルclock時間は反復回数にほぼ比例しており、パフォーマンスのボトルネックはKrylov部分空間プロセスではなく、SAPプリコンディショニングにあることが確認された。