[論文レビュー] Deflation Methods in Fermion Inverters

Walter Wilcox|ArXiv.org|Oct 9, 2007

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、格子QCDにおけるフェルミオン逆行列の高速化を目的として、Morgan/WilcoxのGMRES-DRおよびBiCGStab-DR、Stathopoulos/OrginosのCGに基づくデフラスティング、Lüscherのドメイン分解GCR法という、高度なデフラスティング手法を提示し、比較している。ディラック作用素の小固有モードを投影することで、Krylov部分空間反復回数を削減し、複数のクォーク質量に対して最大6.6倍の高速化を達成した。特に小クォーク質量では標準的なソルバーが深刻な遅延を示すが、本手法は格子体積に伴うスケーリングの改善も示した。

ABSTRACT

I will review recent developments in matrix deflation methods, by Ronald Morgan/Walter Wilcox, Andreas Stathopoulos/Konstantinos Orginos, and Martin Lüscher, with application to lattice QCD fermion inversion. I will begin with a short review of deflation-related work in the field. The Morgan/Wilcox algorithms using GMRES and BiCGStab for deflation will be described. Typical results for quenched (Wilson and twisted mass) and dynamical configurations (CP-PACS and ETMC) will be displayed and discussed. I will outline how inclusion of multiple right-hand sides and multiple shifts can be accommodated within versions of these methods. I will also review deflation methods based on Conjugate Gradient introduced by Stathopoulos and Orginos for hermitian systems with multiple right-hand sides as well as Lüscher's non-hermitian domain decomposition algorithm using Generalized Conjugate Residual.}

研究の動機と目的

• 小固有値による悪条件化のため、小クォーク質量でフェルミオン逆行列が深刻な遅延を示す問題に対処する。
• 低エネルギー固有モードを投影するデフラスティング技術を開発・比較し、Krylov部分空間ソルバーの高速化を図る。
• 再利用可能なデフラスティング固有ベクトルを活用することで、複数の右辺および複数のクォーク質量に対する効率的解法を可能にする。
• 異なる格子サイズおよびフェルミオン形式におけるデフラスティング手法のスケーラビリティと性能を評価する。
• ゼロクォークおよびダイナミカルな配置における反復回数と計算コストに及ぼすデフラスティングの影響を評価する。

提案手法

• GMRES-DRおよびBiCGStab-DRを用い、調和リーツベクトルをKrylov部分空間に追加することで、近似固有ベクトルと線形方程式を同時に計算する。
• 複数の右辺を伴うCGに基づくデフラスティングを適用し、サイクルの開始およびリスタート時に固有ベクトルを投影することで収束性を向上させる。
• Lüscherの非エルミート的ドメイン分解と一般化共役残差法（GCR）および代数多重グリッドプリコンディショナ（SAP）を組み合わせ、スケーラビリティを向上させる。
• 固有モードをKrylov部分空間から投影することで、反復的ソルバーの収束に与える影響を効果的に除去する。
• 異なる線形系間でデフラスティング固有ベクトルを再利用することで、複数のシフトおよび複数の右辺を扱えるようにする。
• デフラスティング部分空間における近似固有ベクトルとして調和リーツベクトルを用い、行列と部分空間のリーツペアを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小固有モードのデフラスティングは、格子QCDフェルミオン行列のKrylov部分空間ソルバーの収束性にどのように寄与するか？
• RQ2 複数のクォーク質量に対して、GMRES-DRやCGに基づくデフラスティングといったデフラスティング手法は、標準的なソルバー（例：BiCGStab）に比べてどの程度の性能向上を示すか？
• RQ3 特にダイナミカルフェルミオンシミュレーションにおいて、格子体積の増大に伴うデフラスティング手法のスケーリング特性はいかなるものか？
• RQ4 ウィルソン型およびねじれ質量ディラック作用素を含む非エルミート系に対しても、デフラスティングは効果的に適用可能か？
• RQ5 複数の右辺を解く際の、デフラスティングの計算コストと得られる高速化のバランスはどのようになるか、特にその相対的コストは？

主な発見

• 32³×48の大きな格子において、デフラスティングのオーバーヘッドを含めた12個のクォーク質量の逆行列計算において、標準的なBiCGStabに比べて統合的な高速化要因は6.6に達した。
• Morgan/WilcoxのGMRES-DR法は、体積が3.2倍に増加した際、外側のGCR反復回数が13%増加したが、標準的なBiCGStabに比べて30%増加した。
• Lüscherのドメイン分解法は、同様の体積変化に対して外側反復回数が13%増加にとどまり、優れたスケーリング特性を示した。
• 5個の質量に対してデフラスティングのオーバーヘッドは184秒であったが、このコストを含めたとしても、依然として3.1倍の高速化が達成された。
• 同様の体積変化に対して、Morgan/WilcoxおよびLüscherの手法の反復回数増加比はそれぞれ約0.45および0.43であり、類似したアルゴリズム的加速効果が示された。
• デフラスティング手法は、特に小クォーク質量で標準的ソルバーが深刻な遅延を示す状況において、Krylov反復回数を顕著に削減した。