[論文レビュー] Defmod - Parallel multiphysics finite element code for modeling crustal deformation during the earthquake/rifting cycle

Shehzad Ali|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

Defmod は、地震および断層形成サイクルにおける地殻変動をマルチフィジックスシミュレーションでモデル化する、オープンソースで並列処理可能な非構造格子有限要素コードである。Fortran 95 で記述されており、PETSc を基盤とするソルバーを用いて、地震時すべり、ダイク侵入、ポテンシャル弾性反発、ビスコエラスティックリラクゼーションといった動的および準静的プロセスをサポートしており、数千コアでのスケーラブルなシミュレーションを可能にし、高い並列効率を実現するとともに、安定化線形要素を用いて高精度なポテンシャル弾性のモデル化を実現している。

ABSTRACT

In this article, we present Defmod, an open source, fully unstructured, two or three dimensional, parallel finite element code for modeling crustal deformation over time scales ranging from milliseconds to thousands of years. Unlike existing public domain numerical codes, Defmod can simulate deformation due to all major processes that make up the earthquake/rifting cycle, in non-homogeneous media. Specifically, it can be used to model deformation due to dynamic and quasistatic processes such as co-seismic slip or dike intrusion(s), poroelastic rebound due to fluid flow and post-seismic or post-rifting viscoelastic relaxation. It can also be used to model deformation due to processes such as post-glacial rebound, hydrological (un)loading, injection and/or withdrawal of fluids from subsurface reservoirs etc. Defmod is written in Fortran 95 and uses PETSc's parallel sparse data structures and implicit solvers. Problems can be solved using (stabilized) linear triangular, quadrilateral, tetrahedral or hexahedral elements on shared or distributed memory machines with hundreds or even thousands of processor cores. In the current version of the code, prescribed loading is supported. Results are written in ASCII VTK format for easy visualization. The source code is released under the terms of GNU General Public License (v3.0) and is freely available from https://bitbucket.org/stali/defmod/.

研究の動機と目的

• 広い時間スケールにわたり複雑な地殻変動プロセスをシミュレートできる柔軟でオープンソースの有限要素コードの開発を目的とする。
• 一つの統合フレームワーク内で、地震すべり、流体誘発ポテンシャル弾性反発、ビスコエラスティックリラクゼーションといった複数の関連する地球物理的プロセスをシミュレートすることを可能にする。
• 非一様な媒質と可変の流れ体力学的性質、複雑な幾何形状を、非構造格子と安定化有限要素を用いて扱えるようにすること。
• PETSc の並列スパースソルバーを活用し、共有メモリまたは分散メモリアーキテクチャ上で高性能でスケーラブルなシミュレーションを提供すること。
• その実装が約 2000 行の Fortran 95 に収まり、研究用途にとどまらず、教育的・学習的用途にも適していることから、研究・教育用途に適したツールを提供すること。

提案手法

• Defmod は、有限要素法を用いて運動方程式のカウチ形式を解き、弱形式を半離散化したシステム： Mü + Cü + Ku = f を得る。
• 故障面のすべり、変位、速度制約を強制するためにラグランジュ乗数を用い、拡張系方程式： Mü + Cu̇ + Ku + Gᵀλ = f および Gu = l を導入する。
• 動的波動伝播のためには、加速度に明示的中心差分法、速度に後退差分法を用い、効率的な逆行列計算を実現するため質量行列を lumped 化する。
• 数値的減衰を制御するためにレイリー減衰（C = αM + βK）を用い、時間ステップはCFL条件： Δt ≤ L/c で制限され、ここで c = √(E/ρ) である。
• 準静的問題のためには、PETSc の反復的または直接的ソルバーを用いた陰的時間積分を採用し、ポテンシャル弾性のための運動量と連続の式を連成して解く。
• 線形要素を用いたポテンシャル弾性問題における inf-sup 条件を満たすために、ボーチェブとドーマン（2006）の局所的圧力投影法を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 つの有限要素コードが、地震／断層形成サイクルにおける動的破壊、流体の流れ、ビスコエラスティックリラクゼーションといった複数の関連するプロセスを、効率的にシミュレートできるか。
• RQ2 Defmod の性能は、数千コアにわたるスケーリングにおいて、明示的弾性動力学的問題および陰的準静的問題の両方でどのように変化するか。
• RQ3 Defmod が線形要素を用いて安定化処理を施したポテンシャル弾性問題を実装する際の、精度と安定性は、高次元要素法と比較してどの程度の水準にあるか。
• RQ4 約 2000 行の Fortran 95 実装に収まるコンactなコードが、大規模な地球物理シミュレーションにおいて、高い性能とスケーラビリティを達成できるか。
• RQ5 リスラーとクーヘイマーのダッシュポットに基づく波吸収スキームが、計算領域境界で不自然な反射を最小限に抑えるのにどの程度有効であるか。

主な発見

• Defmod は、最大 1024 コアまで、明示的弾性動力学的問題および陰的準静的問題の両方で並列効率 0.90 以上を達成しており、コア数が増加しても性能が安定している。
• 明示的弾性動力学的問題では、512 コアから 1024 コアにスケーリングする際、1 コアあたりの作業量が 24.4K DOFs にまで低下したため、効率が 0.93 から 0.80 に低下した。
• 陰的準静的ソルバーは、1 コアあたりの追加計算（応力回復、力ベクトル構築など）のおかげで、1024 コアでも高い効率（0.87）を維持している。
• 安定化線形要素を用いたポテンシャル弾性反発のシミュレーションが成功しており、ロックの発生を回避するとともに、高次元要素を必要とせずに精度を確保している。
• 1024 コアで 500 ステップ目における最終のプリコンディショニング済み残差ノルムは 4.965×10⁻⁵ であり、収束性が良好であることが示された。
• Defmod は、約 2500 万自由度を有する 3D ラムズ問題において強いスケーリングを示しており、現代の HPC クラスタ上で大規模な地球物理シミュレーションを実行可能な能力を確認した。