[論文レビュー] Deformation bicomplex of module-algebras

Donald Yau|ArXiv.org|Jul 24, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、bialgebra H における module-algebra に対して、代数構造と H-モジュール構造を同時に変形するように一般化された Hochschild コホロジーを備えた変形双複体を構成する。この双複体の全複体のコホモロジーが形式的変形を制御することを確立し、H² の消滅が剛性を意味することを示す。この枠組みは、module-coalgebra や comodule-(co)algebra、(co)module-bialgebra へと拡張され、それぞれ同様の変形複体とコホモロジー的変形制御が得られる。

ABSTRACT

The deformation bicomplex of a module-algebra over a bialgebra is constructed. It is then applied to study algebraic deformations in which both the module structure and the algebra structure are deformed. The cases of module-coalgebras, comodule-(co)algebras, and (co)module-bialgebras are also considered.

研究の動機と目的

• H-モジュール代数の変形理論を、代数構造と H-モジュール構造を同時に変形できるように開発すること。
• 従来の結合代数および bialgebra の変形理論を、モジュールおよびコモジュール構造を含むように一般化すること。
• 変形複体を module-coalgebra、comodule-(co)algebra、(co)module-bialgebra に拡張すること。
• 変形の無限小を変形双複体内の 2-コサイクルとして特定し、コホモロジーと剛性との関係を明らかにすること。
• 変形複体にカップ積を構成し、各列および各行に微分付き代数構造を与えること。

提案手法

• 変形双複体 $ C_{\mathrm{MA}}^{**}(A) $ を $ \mathrm{Hoch}^{*}(H, \operatorname{Hom}(A^{\otimes*}, A)) $ として定義し、その項は $ \operatorname{Hom}(H^{\otimes q}, \operatorname{Hom}(A^{\otimes p}, A)) $ である。
• 全複体 $ C_{\mathrm{MA}}^{*}(A) $ を次数のシフトにより構成する：$ C_{\mathrm{MA}}^{n}(A) = \bigoplus_{p+q=n+1} C_{\mathrm{MA}}^{p,q}(A) $。
• 各行 $ C_{\mathrm{MA}}^{*,q}(A) $ に、$ \operatorname{Hom}(H^{\otimes q}, A) $ 上の結合代数構造を介した Hochschild $ \cup $-積を導入する。
• 各列 $ C_{\mathrm{MA}}^{p,*}(A) $ に、$ \operatorname{Hom}(A^{\otimes p}, A) $ 上の代数構造を介した $ \cup $-積を導入し、特に $ p=1 $ の場合に非自明な構造を得る。
• 構成を module-coalgebra、comodule-(co)algebra、(co)module-bialgebra に一般化し、双複体および三複体を得る。
• 変形を、変形複体の係数をとる形式的級数 $ \Theta = \sum \theta_n t^n $ として定義し、モジュール構造および代数構造の整合性条件を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H-モジュール代数における代数構造とモジュール構造を同時に変形する方法は何か？
• RQ2 このような同時変形を分類する適切なコホモロジー的枠組みは何か？
• RQ3 module-coalgebra、comodule-algebra、(co)module-bialgebra の変形双複体は、古典的変形理論をどのように一般化するか？
• RQ4 変形複体における $ \cup $-積の役割は何か？ また、これにより複体が微分付き代数構造を備えるか？
• RQ5 どのようなコホモロジー的条件下で、モジュール bialgebra は剛性を示すか、すなわちすべての変形が自明な変形と同値になるか？

主な発見

• H-モジュール代数 A に対する変形双複体 $ C_{\mathrm{MA}}^{**}(A) $ は、$ \mathrm{Hoch}^{*}(H, \operatorname{Hom}(A^{\otimes*}, A)) $ に同型であり、0行目は A の Hochschild 複体に一致する。
• 各行 $ C_{\mathrm{MA}}^{*,q}(A) $ は、$ \operatorname{Hom}(H^{\otimes q}, A) $ に係数を持つ Hochschild コホホロジー複体に同型であり、$ \cup $-積を介して微分付き結合代数構造を誘導する。
• H-モジュール代数の任意の変形の無限小は、全複体 $ C_{\mathrm{MA}}^{*}(A) $ 内の 2-コサイクルであり、そのコホモロジー類が変形の同値類を決定する。
• もし $ H^{2}(C_{\mathrm{MA}}^{*}(A)) = 0 $ であれば、H-モジュール代数のすべての変形は自明な変形と同値であり、剛性が保証される。
• H-コモジュール bialgebra A に対する変形三複体 $ C_{\mathrm{CB}}^{***}(A) $ には三つの微分が存在し、三方向すべてに $ \cup $-積が存在し、それぞれのコホモロジー複体が DGA となる。
• コモジュール bialgebra 変形三複体の全複体 $ C_{\mathrm{CB}}^{*}(A) $ は、$ C_{\mathrm{CB}}^{1}(A) = \operatorname{Bider}(A) $ および $ C_{\mathrm{CB}}^{2}(A) = \operatorname{Hom}(A, H \otimes A) \oplus \operatorname{Hom}(A^{\otimes 2}, A) \oplus \operatorname{Hom}(A, A^{\otimes 2}) $ を満たし、$ H^{2}_{\mathrm{CB}}(A) $ の消滅は、A がコモジュール bialgebraとして剛性を示すことを意味する。