[論文レビュー] Deformation cohomology of algebraic and geometric structures

J.-F. Pommaret|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、伝統的なリー代数手法の代わりにベッショ・構造方程式とスペンサー作用素を用いることで、代数的・幾何的構造の統一的変形コホモロジー枠組みを導入する。これにより、無限次元リー・アレブロイドにおけるコンピュータ代数の体系的応用が可能になる。主な貢献は、ベッショ形式的理論に基づく新しいコホモロジー列であり、これはチエヴァリ-エイレンベルクコホモロジーを一般化し、リーマン幾何、シンプレクティック幾何、接触幾何などの構造に適用可能である。

ABSTRACT

In 1953, the physicists E. Inonü and E.P. Wigner introduced the concept of deformation of a Lie algebra by claiming that the limit $1/c ightarrow 0$, when c is the speed of light, of the composition law $(u,v) ightarrow (u+v)/(1+(uv/c^2))$ of speeds in special relativity (Poincaré group) should produce the composition law $(u,v) ightarrow u + v $ used in classical mechanics (Galilée group). However, the dimensionless composition law $(u'=u/c,v'=v/c) ightarrow (u'+v')/(1+u'v')$ does not contain any longer a perturbation parameter. Nevertheless, this idea brought the birth of the " deformation theory of algebraic structures", culminating in the use of the Chevalley-Eilenberg cohomology of Lie algebras and one of the first applications of computer algebra in the seventies. One may also notice that the main idea of general relativity is to deform the Minkowski metric of space-time by means of the small dimensionless parameter $ϕ/c^2$ where $ϕ=GM/r$ is the gravitational potential at a distance r of a central attractive mass M with gravitational constant G. A few years later, a " deformation theory of geometric structures " on manifolds of dimension n was introduced and one may quote riemannian, symplectic or complex analytic structures. Though often conjectured, the link between the two approaches has never been exhibited and the aim of this paper is to provide the solution of this problem by new methods. The key tool is made by the " Vessiot structure equations " (1903) for Lie groups or Lie pseudogroups of transformations, which, contrary to the " Cartan structure equations ", are still unknown today and contain " structure constants " which, like in the case of constant riemannian curvature, have in general nothing to do with any Lie algebra. The main idea is then to introduce the purely differential Janet sequence $0 ightarrow Θ ightarrow T ightarrow F_0 ightarrow F_1 ightarrow ... ightarrow F_n ightarrow 0$ as a resolution of the sheaf $Θ\subset T$ of infinitesimal transformations and to induce a purely algebraic " deformation sequence " with finite dimensional vector spaces and linear maps, even if $Θ$ is infinite dimensional. The infinitesimal equivalence problem for geometric structures has to do with the local exactness at $ F_0 $ of the Janet sequence while the deformation problem for algebraic structures has to do with the exactness of the deformation sequence at the invariant sections of $F_1 $, that is ONE STEP FURTHER ON in the sequence and this unexpected result explains why the many tentatives previously quoted have not been successful. Finally, we emphasize through examples the part that could be played by computer algebra in any explicit computation.

研究の動機と目的

• リー代数の変形理論と多様体上の幾何的構造の変形理論の間の長年のギャップを解消すること。
• ベッショ構造方程式を用いて、幾何的対象（例：リーマン、シンプレクティック、接触）の変形の厳密なコホモロジー枠組みを確立すること。
• チエヴァリ-エイレンベルクコホモロジーが、スペンサー作用素およびベッショ形式的理論から導かれるより広範なコホモロジー列の特別な場合であることを示すこと。
• 無限次元リー・アレブロイドに対しても、有限次元線形列を用いることで、変形理論における体系的コンピュータ代数応用を可能にすること。
• 1903年以降無視されてきたが、変形計画における基礎的役割を果たすベッショ構造方程式の重要性を明確にすること—これはカルタン構造方程式の代替となる。

提案手法

• カルタン構造方程式の代わりに、ジュートバンドルおよび自然バンドルに内在する幾何学的性質を持つベッショ構造方程式を用いる。
• スペンサー作用素を用いて、有限次元ベクトル空間上に誘導される自然な線形ジャンヌ・系列を定義し、コホモロジー列を構成する。
• ベッショ・コホモロジーに基づく変形複体を構築し、コホモロジー群がベッショ方程式内の構造定数のみに依存することを示す。
• 主同次空間に理論を適用し、チエヴァリ-エイレンベルクコホモロジーが特別な場合として回復されることを示す。
• アーレン大学・アーヘンで開発された記号計算ツール（例：Barakat や Lorenz の貢献）を活用し、コホモロジー列をアルゴリズム的に実装する。
• 非アーベル的および非線形幾何的構造を体系的に取り扱うために、非線形スペンサー系列およびジュート・グロイド形式的理論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数の変形コホモロジーを、統一的枠組みを用いて多様体上の幾何的構造へ一般化することは可能か？
• RQ2 変形理論においてカルタン構造方程式を置き換えるベッショ構造方程式の役割は何か？
• RQ3 スペンサー作用素が、無限次元リー・アレブロイドに対し、有限次元コホモロジー列を構成可能にする仕組みは何か？
• RQ4 リー群の構造において、新しいコホモロジー列が古典的チエヴァリ-エイレンベルクコホモロジーをどのように回復するか？
• RQ5 コンピュータ代数システムは、接触構造やユニモジュラー接触構造などの複雑な幾何的構造の変形コホモロジーを効果的に計算できるか？

主な発見

• ベッショ構造方程式は、変形理論におけるカルタン構造方程式の基礎的代替を提供し、長年の概念的ギャップを解消する。
• リー代数が存在しない場合（例：定曲率リーマン幾何）でも、ベッショ方程式の構造定数のみに依存して、幾何的構造の変形コホモロジーが完全に決定されることを示す。
• スペンサー作用素およびジャンヌ理論に基づく新しいコホモロジー列は、有限次元かつ計算可能であり、記号計算によるアルゴリズム的取り扱いを可能にする。
• 構造がリー群の主同次空間である場合、チエヴァリ-エイレンベルクコホモロジーが特別な場合として現れる。
• 本フレームワークにより、接触構造やユニモジュラー接触構造に関連する無限次元リー・アレブロイドに対しても、変形理論が成功裏に一般化される。
• 本理論は、リー代数の変形と幾何的構造の変形の間の概念的ブリッジを提供し、スペンサー、コーダイラ、クルナシ、および他の研究者らが未解決のままにした予想された関係を解消する。