[論文レビュー] Deformation complex of a d-algebra is a (d+1)-algebra

Dmitry Tamarkin|ArXiv.org|Oct 7, 2000

Advanced Scientific Research Methods被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、$d$-代数の変形複体を$d$-シフトすることで、自然に$(d+1)$-代数構造を備えることを、完全に代数的手法を用いて証明する。$d$-代数のホモトピー理論と、コプロアーティニアン余代数上の関手の代表可能性を用いて、変形複体に$d$-バイアルゲブラ構造を構成し、${\rm def}(X)[-d]$にホモトピー$(d+1)$-代数構造を誘導する。これにより、特徴値0の体上で、コンツェビッチの準同型結果を代数的に確立する。

ABSTRACT

We prove thst the deformation complex of a d-algebra (shifted by 1-d) carries a natural structure of (d+1)-algebra. This is a purely algebraic version of a similkar theorem of Kontsevich.

研究の動機と目的

• $d$-代数の変形複体に関するコンツェビッチの定理の変種を、完全に代数的手法で証明すること。
• ${\rm def}(X)$を$d$-代数$X$の変形複体とし、$d$-シフトした${\rm def}(X)[-d]$が自然に$(d+1)$-代数構造を備えることの確立。
• Koszul型操作とホモトピー$d$-代数の理論を用いて、変形複体をバー構成$X^\lor$上の微分付きLie代数として定義すること。
• 恒等写像の形式的近傍における準同型の関手が、$d$-バイアルゲブラによって代表可能であることを示し、これにより$(d+1)$-代数構造が誘導されること。

提案手法

• $V[-d]$をコ生成するコ自由$d$-余代数上の微分を用いて、ホモトピー$d$-代数を定義し、結合的およびLie代数のバー構成を一般化する。
• ${\rm def}(X)$を、$d$-代数構造から来る二次微分を備えた$d$-余代数$X^\lor = {\rm Cofree}_d(V[-d])$上の微分付きLie代数として構成する。
• コプロアーティニアンな$d$-余代数$a$に対して、関手$F^\phi_{X,Y}(a) = \{ \text{準同型 } X^\lor \otimes a \to Y^\lor \mid \text{中間写像は } \phi \}$を定義し、$\underline{\rm Hom}^\phi(X,Y)$という$d$-余代数によってその代表可能性を証明する。
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$が、結合的積と余代数構造を持つ$d$-バイアルゲブラであり、${\rm def}(X)$上のコ自由$d$-余代数と同型であることを示す。
• この$d$-バイアルゲブラを余代数的可換な部分圏に制限すると、$U({\rm def}(X))$に同型なホップ代数が得られ、これはPoincar\'e-Birkhoff-Witt同型写像により実現される。
• ${\rm def}(X)[-d]$にホモトピー$(d+1)$-代数構造を、$d$-バイアルゲブラの原始的元を分析し、Lie余代数$CofreeLie(a'[1])[d-1]$上の微分のサイクル条件を検証することで導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値0の体において、$d$-代数の変形複体を$d$-シフトしたものは、自然に$(d+1)$-代数構造を備えるか？
• RQ2 この構造は、位相的操作や有理ホモトピー論に依存せずに、完全に代数的手法で構成可能か？
• RQ3 ${\rm def}(X)[-d]$に誘導される$(d+1)$-代数構造は、$\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$の$d$-バイアルゲブラ構造とどのように関係しているか？
• RQ4 ${\rm def}(X)$上のLie代数構造は、$d$-バイアルゲブラ構造の原始的部品として回復可能か？
• RQ5 Poincar\'e-Birkhoff-Witt同型写像は、$C(\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X))$のホップ代数構造と$U({\rm def}(X))$をどのように関連付けるか？

主な発見

• ${\rm def}(X)$は、$a'$を$V^\lor$から$V$への$\mathrm{Hom}_k$の$\mathrm{Hom}_k(V^\lor, V)$に、歪みのある微分を備えた$d$-代数とみなしたとき、${\rm def}(X)$はその上での次数付きベクトル空間として同型である。
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$の$d$-バイアルゲブラ構造は、${\rm def}(X)[-d]$にホモトピー$(d+1)$-代数構造を誘導し、Lie括弧と可換積が微分と両立する。
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$の原始的元は、$CofreeLie(a'[1])[d-1]$と同型な微分Lieバイアルゲブラをなしており、サイクル条件$\delta([x,y]) = [\delta x, y] + (-1)^{|x|(d-1)}[x, \delta y]$を満たす。
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$の$S(a'[d])$への制限により、$U({\rm def}(X))$に同型なホップ代数が得られ、その同型写像はPoincar\'e-Birkhoff-Witt写像である。
• ${\rm def}(X)$上のLie代数構造は、$CofreeLie(a'[1])[d-1]$の原始的元上の交換子と一致し、したがって$(d+1)$-代数構造から回復可能である。
• $a'$の交換子はホモトピー的に自明である、すなわち微分複体内で完全である。これは、$(d+1)$-代数構造が高次のホモトピー一般化であることに整合する。