[論文レビュー] Deformation Expression for Elements of Algebras (IV) --Matrix elements and related integrals--

Hideki Omori, Yoshiaki Maeda+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換変数 $u$ と $v$ が交換関係 $u*v - v*u = -ihbar$ を満たす拡張されたウェイル代数において、行列要素および関連する積分を調査する。導入された変形パラメータ $K$ はスター積の順序付けを支配し、$*$-指数関数 $e^{t(\frac{1}{i\hbar}u\circ v + \alpha))}$ が $K$ に依存する特異性を示す。主な貢献は、解析接続と積分表現を用いて、$\frac{1}{i\hbar}u\circ v + \alpha$ に対して3つの異なる逆元を構成したことであり、演算子の固有値は表現パラメータ $K$ に依存し、$z = -(n+\frac{1}{2})$ に極をもち、留数は $\frac{1}{(i\hbar)^n n!} u^n \circ \pi_{00} \circ v^n$ で与えられる。

ABSTRACT

In this note, we mainly consider the extended Weyl algebra of two generators (u,v), that is, the algebra generated by u,v with the fundamental commutation relation. Weyl algebra is realized on the space of polynomials of u and v by defining various product depending on a symmetric matrix K called the expression parameter. Via such expressions and ordinary calculus one can treat various transcendental elements such as *-exponential functions and elements obtained by integrations.

研究の動機と目的

• 2つの生成子 $u$ と $v$ を持つ拡張ウェイル代数におけるスター積による量子化の下で、要素の行列表現および積分を分析すること。
• スペクトル的性質（特に可逆性および極）が表現パラメータ $K$ にどのように依存するかを調査すること。
• $\frac{1}{i\hbar}u\circ v + \alpha$ の逆元の解析接続を、積分表現およびインターツインヤー技法を用いて構成すること。
• 真空状態、擬似真空状態、バーバーバー真空状態が代数的構造における冪等元として果たす役割を明確化すること。

提案手法

• 対称行列 $K$ を用いてスター積を定義し、$f * g = f \exp\left(\frac{i\hbar}{2} \sum \Lambda_{ij} \partial_{u_i} \partial_{u_j} \right) g$（ここで $\Lambda = K + J$）により順序付き表現を定義する。
• 異なる $K$-順序表現を関連付けるために、$I_K^{K'}$ を用いたインターツインヤーを適用し、ウェイル代数の同型な実現の間の変換を可能にする。
• 虚軸に沿ったスター指数関数の積分表現を用いてスター逆元を定義し、特に $(z + \frac{1}{i\hbar}u\circ v)^{-1}_\pm$ を導入し、$\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ 内の正則関数空間で収束する。
• 半逆元 $v^\circ$ を用いて逆元の解析接続の公式を導出し、初期の収束帯域を超えて定義域を拡張する。
• ローラン展開および留数論を用いて極における留数を計算し、それが $u^n \pi_{00} v^n$ に比例することを示す。
• $\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ 内の無限級数として逆元の明示的表現を導出し、収束性は $K \in K_+$ または $K_-$ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スター積指数関数 $e^{t(\frac{1}{i\hbar}u\circ v + \alpha))}$ の特異性は、表現パラメータ $K$ にどのように依存するか？
• RQ2 $\frac{1}{i\hbar}u\circ v + \alpha$ の異なるスター逆元は何か？ そして、それらは積分表現からどのように生じるか？
• RQ3 $\frac{1}{i\hbar}u\circ v$ の固有値はなぜ $K$ に依存するのか？ また、この文脈における極と留数は何か？
• RQ4 半逆元 $v^\circ$ を用いて、$(z + \frac{1}{i\hbar}u\circ v)^{-1}_\pm$ の解析接続を体系的にどのように構成できるか？
• RQ5 擬似真空状態および真空状態は、行列表現および冪等元の定義において果たす役割は何か？

主な発見

• スター指数関数 $e^{t(\frac{1}{i\hbar}u\circ v + \alpha))}$ は虚軸上で急速に減少するため、その逆元を積分的に定義可能である。
• 正の時間積分、負の時間積分、および $z+n$ におけるローラン級数による3つの異なるスター逆元が存在する。これらはすべて $\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ で収束する。
• $\frac{1}{i\hbar}u\circ v$ の固有値は一意的ではなく、$K$ に依存し、$n \in \mathbb{N}_0$ に対して $z = -(n + \frac{1}{2})$ に極を持つ。これにより、スペクトル構造の $K$-依存性が明らかになる。
• $z = -(n + \frac{1}{2})$ における留数は $\frac{1}{(i\hbar)^n n!} u^n \pi_{00} v^n$ であり、これは $K$-順序基底における行列要素 $E_{n,n}(K)$ に等しい。
• $(z + \frac{1}{i\hbar}u\circ v)^{-1}_+$ の解析接続は、$v^\circ$ および $u^n$ を含む有限和と、$(z + n + \frac{1}{i\hbar}u\circ v)^{-1}_+$ を含む剰余項からなる。これは $\text{Re}\, z > -(n + \frac{1}{2})$ で有効である。
• $K \in K_0$ の場合、3つの逆元（正の時間、負の時間、ローラン級数）は一致し、$\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ への正則写像を定義する。それぞれの極は $\mathbb{Z} \setminus \{-(n+\frac{1}{2})\}$、$\mathbb{Z} \setminus \{n+\frac{1}{2}\}$、および $\mathbb{Z}$ に位置する。