[論文レビュー] Deformation from symmetry for Schrodinger equations of higher order on unbounded domains

Addolorata Salvatore, Marco Squassina|ArXiv.org|Mar 1, 2003

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非一様境界条件を伴う非有界領域上での高次の多調和シュレーディンガー方程式に対して、対称性からの変形に基づく摂動法を用いて、無限個の解の存在を確立している。非線形項の成長条件とポテンシャル $V$ のスペクトル的仮定の下で、領域の測度が有限である場合、または全空間である場合に、問題は無限個の解を持つことが示され、第二順位の結果が高次の作用素へと拡張されている。これは臨界点理論と重み付きソボレフ空間におけるコンパクト性の議論を用いて達成された。

ABSTRACT

By means of a perturbation method recently introduced by Bolle, we discuss the existence of infinitely many solutions for a class of perturbed symmetric higher order Schrodinger equations with non-homogeneous boundary data on unbounded domains.

研究の動機と目的

• 第二順位のシュレーディンガー方程式の対称性破れ摂動に関する多重性結果を、高次の多調和作用素へと拡張すること。
• 非有界領域におけるコンパクト性の欠如を、$V$ のスペクトル的条件を課えることで解消し、離散スペクトルとコンパクト埋め込みを保証すること。
• 非ゼロ境界値を伴う非一様境界条件を有する高次のシュレーディンガー方程式に対し、無限個の解の存在を確立すること、すなわち、対称性が破れた場合でも成立すること。
• 非有界領域上での高次のケース（$K > 1$）における臨界指数および成長条件の既存結果を一般化すること。
• 変分法と対称性からの変形に基づく摂動技法を組み合わせることで、非有界領域上での多重性結果の枠組みを提供すること。

提案手法

• ボール、グルサブ、ティハラニが最近開発した、対称性が破れた問題に適応された摂動法を適用する。
• 作用素 $A + V(x)$ の定義域としての重み付きソボレフ空間 $X_V$ 上で臨界点理論を用いる。この空間のノルムは $\|\cdot\|_{X_V}$ で表される。
• $V$ に対して条件 (V) を課し、$A + V(x)$ のスペクトルが離散的であり、コンパクト埋め込みが成り立つようにする。これにより、パライス＝スモール条件が回復される。
• ガリャルド＝ニレングラの不等式を用いて、$X_V$-ノルムと固有値を用いて $L^p$ ノルムを制御する。
• 奇関数の変形によって固定された大きな球を保つように、最小最大化値 $c_n = \inf_{h \in H} \sup_{h(X^n_V)} I_0$ を定義し、臨界点を生成する。
• パrameter $\vartheta \in [0,1]$ を用いて $C^1$-汎関数 $I_\vartheta(u) = I(\vartheta, u)$ を定義し、摂動に伴うエネルギーの変化を追跡する変形補題を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界領域上での非一様境界条件を伴う高次のシュレーディンガー方程式に対して、対称性からの変形の手法を拡張可能か？
• RQ2 非線形項 $g(x,u)$ およびポテンシャル $V(x)$ にどのような条件を課せば、非ゼロ境界値による対称性の破れの下でも無限個の解の存在が保証されるか？
• RQ3 第二順位の場合と比較して、高次のケース（$K > 1$）における多重性の臨界指数はどのように変化するか？
• RQ4 領域 $\Omega$ およびポテンシャル $V$ にどのような条件を課せば、非有界領域上でもパライス＝スモール条件が回復されるか？
• RQ5 領域 $\Omega = \mathbb{R}^N$ かつ $V \equiv 0$ の場合にも、多重性結果を拡張可能か？

主な発見

• 領域 $\Omega$ が非有界で $|\Omega| < \infty$ の場合、条件 (g1)–(g4)、(A)、(V) を満たし、$n$ が十分に大きいとき $\lambda_n > n^{\kappa(p,K,N,\mu)}$ であれば、無限個の解が存在する。ここで $\kappa(p,K,N,\mu) = \frac{2K\mu(p-2)}{(\mu-p+1)(2Kp - (p-2)N)}$ である。
• 境界関数 $\phi \in L^{\mu'}(\Omega)$ かつ $\phi_j \in H^{K-j-1/2}(\partial\Omega)$ のとき、境界値問題 (S_{\phi,\varphi}) は同じスペクトル的条件の下で無限個の解を持つ。
• すべての $j$ について $\phi_j = 0$ のとき、$g$ の成長制限を緩和可能であり、$\mu > 2$ かつ $2 < p < \mu+1$ の下で、$N > 2K$ のとき $p < K^*$ を満たすと、結果は成り立つ。
• $\Omega = \mathbb{R}^N$ のとき、$V \equiv 0$ かつ $\phi = 0$ であれば、同じ多重性結果が成り立つ。条件として $g$ が (g1)–(g4) を満たし、$2 < p < \frac{2N}{N-2K}$ であればよい。
• 空間 $H^K_0(\Omega)$ におけるソボレフ埋め込みの臨界指数は $K^* = \frac{2N}{N-2K}$ であり、$g$ の成長はこの指数に対して臨界的でない（サブ臨界的）である必要がある。
• $|\Omega| < \infty$ のとき、より鋭い下界 $c_n \geq \bar{b} \lambda_n^{\bar{\beta}(p,K,N)}$ が成り立ち、$\bar{\beta}(p,K,N) = \frac{2Kp - N(p-2)}{2K(p-2)}$ である。$n \to \infty$ のとき、この不等式は無限個の解の存在を示唆する。