[論文レビュー] Deformation inequivalent complex conjugated complex structures and applications

Viatcheslav Kharlamov, Вик. С. Куликов|DergiPark (Istanbul University)|Nov 11, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、すべての次元 ≥2 において、複素共役と変形同値でないコンパクト複素多様体の明示的例を構成し、さらにそれらの多様体が正則クラスを反転するホメオモルフィズムをもたないことを示している。群 (Z/5Z)^2 を用いた複素射影平面のガロア被覆と、消えうる次数基準による正則2形式の明示的計算を用いて、最小特異点解消の幾何的 genus と不正則性を証明し、微分同相または変形の下でその負と同値でない最初の既知のシンプレクティック構造の例を確立している。

ABSTRACT

Here, we resume and broaden the results concerned which appeared in math.AG/0101098 and math.AG/0104021. We start from summing up our example of a complex algebraic surface which is not deformation equivalent to its complex conjugate and which, moreover, has no homeomorphisms reversing the canonical class. Then, we construct several series of higher dimensional compact complex manifolds having the same property. We end with discussing applications to the Dif=Def problems, to the existence of diffeomorphic plane cuspidal curves non equivalent under equisingular deformations and to the existence of (deformation) non equivalent symplectic structures with opposite canonical classes.

研究の動機と目的

• すべての次元 ≥2 のコンパクト複素多様体が、実構造または反自己同型をもつ多様体に変形可能かどうかという、実代数幾何における未解決問題を解消すること。
• すべての次元 ≥2 において、複素共役と変形同値でないコンパクト複素多様体を構成すること。
• 正則クラスを反転するホメオモルフィズムをもたない複素多様体（特に射影の場合も含む）の存在を示すこと。
• 複素曲面における結果を高次元に拡張し、Dif=Def 問題に対する新たな反例を提供すること。
• 微分同相または変形の下でその負と同値でない最初の既知のシンプレクティック構造を構成すること。

提案手法

• 12本の直線からなる配置を用い、指定された重複度を持つように、群 G = (Z/5Z)^2 を用いた CP^2 のガロア被覆を構成する。
• 正則2形式の引き戻しにおける消えうる次数条件を用いた、ガロア被覆の幾何的 genus を計算する一般的手順を適用する。
• 特異点集合の分岐被覆上の正則性を保証するための、引き戻し2形式のゼロの最小次数を定める基準 (5)–(7) を用いる。
• 各巡回商被覆 X_{G_i} → CP^2 の最小特異点解消上の正則2形式の空間を明示的に計算する。
• 各 G の6個の部分群 H_i に対して、多項式の次数の上限とゼロ条件を用いて、そのような形式の空間の次元（幾何的 genus）を評価する。
• ノイターの公式を適用し、不正則性 q = 0 を計算することで、表面が正則であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての次元 ≥2 のコンパクト複素多様体は、実構造をもつ多様体、または反自己同型をもつ多様体に変形可能か？
• RQ2 複素共役と変形同値でないコンパクト複素多様体が存在するか？
• RQ3 正則クラスを反転するホメオモルフィズムをもたない複素多様体が存在するか？
• RQ4 多様体上に、微分同相または変形の下でその負と同値でないシンプレクティック構造が存在するか？
• RQ5 Dif=Def 問題は、非同値に加え、共役であり、かつ正則クラスに関してホメオモルフィズムをもたない例によって解決可能か？

主な発見

• 群 (Z/5Z)^2 を持つガロア被覆 X_G → CP^2 の最小特異点解消は、幾何的 genus p_g = 36 をもつ。
• 最小特異点解消の不正則性 q は、ノイターの公式により 0 であることが計算された：(c_1^2 + c_2)/12 - 1 - p_g = 0。
• 6個の巡回商被覆 X_{G_i} → CP^2 の幾何的 genus は次のように計算された：p_g(G_1)=1, p_g(G_2)=5, p_g(G_3)=5, p_g(G_4)=13, p_g(G_5)=11, p_g(G_6)=1。
• 構成された例は、複素共役と変形同値ではなく、正則クラスを反転するホメオモルフィズムも存在しない。
• この構成により、微分同相または変形の下でその負と同値でない最初の既知のシンプレクティック構造の例が得られた。
• これらの例は次元2では剛性があり、高次元では強く剛性を示し、非自明な局所変形をもたない。