[論文レビュー] Deformation of 2-step Nilmanifolds with Abelian Complex Structures

COLIN McLAUGHLIN, Henrik Pedersen+2 more|ArXiv.org|Feb 4, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2段階-nilmanifold 上のアーベル不変複素構造の変形理論を展開し、Kuranishi の手法が不変性を保つこと、およびアーベル変形が障害なしであることを証明する。主たる貢献は、'条件A' と呼ばれる純代数的特徴付けによりアーベル変形を定式化し、リー代数コホモロジーと構造定数を用いてモジュライ空間を明示的に計算可能にする点である。

ABSTRACT

We develop deformation theory for abelian invariant complex structures on a nilmanifold, and prove that in this case the invariance property is preserved by the Kuranishi process. A purely algebraic condition characterizes the deformations leading again to abelian structures, and we prove that such deformations are unobstructed. Various examples illustrate the resulting theory, and the behavior possible in 3 complex dimensions.

研究の動機と目的

• 2段階-nilmanifold にアーベル不変複素構造を備えた場合の変形を計算するための一般枠組みを構築すること。
• Kuranishi の変形プロセスが、このような-nilmanifold 上の不変複素構造の不変性を保つことの証明。
• 純代数的条件を用いてアーベル性を保つ変形を特徴付けること。
• アーベル変形が障害なしであり、無限小レベルで忠実に表現されることを確立すること。
• 提案手法を既存の手法と比較し、特に6次元例において検証すること。

提案手法

• リー代数コホモロジーとの明示的同型を用いて、nilmanifold のDolbeaultコホモロジーを同定する。
• 調和代表元を接層に係数をとる形に拡張し、コホモロジー同型を拡張する。
• 不変テンソルにKuranishi の手法を適用し、変形がプロセス中でも不変性を保つことを証明する。
• リー代数の構造定数に関する代数方程式系である「条件A」を導入し、アーベル変形を特徴付ける。
• (1,0)-形式の双対基底表現を用いて、変形された複素構造の整合性条件を導出する。
• 明示的な例においてコホモロジー次元を計算し、モジュライ空間次元（例：dim Kur = 4, dim Abel = 3）を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2段階-nilmanifold にアーベル複素構造を備えた場合、Kuranishi の変形プロセスは複素構造の不変性を保つか？
• RQ2 リー代数の構造にどのような代数的条件を課すと、変形された複素構造がアーベルのままであるか？
• RQ3 2段階-nilmanifold のアーベル変形は障害なしであり、無限小パrameter空間が忠実に表現されるか？
• RQ4 Kuranishi空間とアーベル変形空間の次元は、基になる群構造とどのように関係するか？
• RQ5 リー代数コホモロジーと構造定数を用いて、アーベル複素構造のモジュライ空間を効果的に計算できるか？

主な発見

• 2段階-nilmanifold 上の任意のアーベル不変複素構造は、すべて不変であるような局所的完全な変形族を有する。これは、Kuranishi プロセスが不変性を保つことによる。
• アーベル性を保つ変形は障害なしであり、特定の線型部分空間に位置する無限小パrameterに正確に対応する。この部分空間は「条件A」で定義される。
• 例として $ \tilde{W}_6 $ を用いると、Kuranishi空間の次元は4、アーベル変形空間の次元は3である。これは、すべての整合可能な変形がアーベルであるとは限らないことを示している。
• 変形された複素構造の整合性条件は、単一の代数方程式に簡略化される：$ i(1+\tilde{\theta}^3_3)\tilde{\theta}^1_2 = (1-\tilde{\theta}^3_3)(\tilde{\theta}^1_1 - \tilde{\theta}^2_2) $、ここで $ \tilde{\theta} $ は変形パラメータである。
• nilmanifold がKodaira多様体であるためには、リー代数の中心が1次元でなければならない。このような多様体は、すべての無限小パラメータの整合性とアーベル性によって特徴づけられる。
• 本手法により、Kuranishi級数の代わりに直接コホモロジー計算を用いることが可能となり、nilmanifold のパラメータ空間の構成が簡略化される。