[論文レビュー] Deformation of Dirac structures via $L_\infty$ algebras

Marco Gualtieri, Mykola Matviichuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正確なコルヌー・アーベイドロイド内のディラック構造の変形を制御する $L_\infty$ 代数の間で、横断的ディラック構造やほぼディラック構造の選択に依存しない標準的な $L_∞$-同型写像を確立する。$BV_\infty$-に基づく形式的体系と純スピン形式を用いて、これらの代数が標準的に同値であることを証明し、形式性写像と横断的構造の変更におけるムーレル＝カルタン要素の明示的公式を導く。応用分野には（準）ポアソン幾何、リーバイアトリクス、およびコーデイラ＝スペンサーサイエンスを含む複素多様体の変形が含まれる。

ABSTRACT

The deformation theory of a Dirac structure is controlled by a differential graded Lie algebra which depends on the choice of an auxiliary transversal Dirac structure; if the transversal is not involutive, one obtains an $L_\infty$ algebra instead. We develop a simplified method for describing this $L_\infty$ algebra and use it to prove that the $L_\infty$ algebras corresponding to different transversals are canonically $L_\infty$-isomorphic. In some cases, this isomorphism provides a formality map, as we show in several examples including (quasi)-Poisson geometry, Dirac structures on Lie groups, and Lie bialgebras. Finally, we apply our result to a classical problem in the deformation theory of complex manifolds: we provide explicit formulas for the Kodaira-Spencer deformation complex of a fixed small deformation of a complex manifold, in terms of the deformation complex of the original manifold.

研究の動機と目的

• コルヌー・アーベイドロイドにおける変形理論が横断的ディラック構造の選択に依存する非標準的依存性を解消すること。
• 異なる横断的構造から生じる変形 $L_\infty$ 代数の間の標準的 $L_\infty$-同型写像を構成すること。
• 非可積分的ディラック構造および曲がった $L_\infty$ 代数への形式的体系の一般化。
• 同型写像を用いて、変形された複素多様体のコーデイラ＝スペンサー複体の明示的公式を導出すること。
• 小さな変形における複素構造の変形複体に対して、ティアン＝トドロフ型の形式性結果を確立すること。

提案手法

• コルヌー・アーベイドロイドのクリフォード代数構造と純スピン形式を用いて、変形 $L_\infty$ 代数を簡略化された形で再定式化する。
• ロイテンベルクの導来括弧構造の量子化として $BV_\infty$ 形式を適用する。
• 変形パrameter $\varepsilon$ に関連する作用素 $R_\varepsilon$ から構成される一連の多重線形写像 $f_k$ を用いて $L_\infty$-同型写像を定義する。
• 双線形作用素 $R_\varepsilon(\alpha_1,\alpha_2) = i_\varepsilon(\alpha_1 \wedge \alpha_2) - (i_\varepsilon \alpha_1) \wedge \alpha_2 - \alpha_1 \wedge i_\varepsilon \alpha_2$ を用いて、高次括弧と写像成分を明示的に計算する。
• 得られた写像が $L_\infty$-同型写像の公理、特に一般化されたジャコビ恒等式を満たすことを検証する。
• 同型写像をムーレル＝カルタン要素に適用し、変形解の変換公式 $B = (1 + \rho\varepsilon)^{-1}\rho$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック構造の変形 $L_\infty$ 代数は、横断的ディラック構造の選択にどのように依存するか？
• RQ2 横断的構造が完全に可積分的でない場合でも、異なる横断から生じる変形代数の間で標準的 $L_\infty$-同型写像を構成できるか？
• RQ3 この同型写像は、ポアソン幾何や一般化された複素幾何などの幾何的文脈で形式性写像を誘導するか？
• RQ4 変形された複素多様体のコーデイラ＝スペンサー DGLA は、この同型写像を用いて元の DGLA で明示的に表現できるか？
• RQ5 横断的構造の変更におけるムーレル＝カルタン要素の明示的変換則は何か？

主な発見

• 固定されたディラック構造上の異なる横断的ディラック構造に対応する $L_\infty$ 代数は、変形理論における曖昧さを解消する標準的 $L_\infty$-同型写像をもつ。
• 同型写像は $BV_\infty$-に基づく形式的体系を用いて明示的に構成され、$L_\infty$-同型写像公理を満たす一連の多重線形写像 $f_k$ を得る。
• ムーレル＝カルタン要素 $\rho$ に対して、変形解は $B = (1 + \rho\varepsilon)^{-1}\rho$ で与えられ、$1 + \rho\varepsilon$ が可逆であるとき収束する。
• 同型写像は、元のと変形された複素構造のシュアウトエン＝ニーレンハイズ括弧を関連付けるティアン＝トドロフ型の公式を誘導する。
• 元の括弧と変形された括弧によって誘導されるコホモロジー括弧は同型であり、コホモロジーにおける障害写像が同一であることを示唆する。
• この手法は曲がった $L_\infty$ 代数にも適用可能であり、元の複素構造の変形複体を用いて、変形された複素多様体のコーデイラ＝スペンサー複体の明示的公式を提供する。