[論文レビュー] Deformation of finite dimensional C*-quantum groupoids

Jean-Michel Vallin|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の有限次元 C*-量子群コホモロジーが、そのカルタン部分代数内のユニタリ元を用いて変形可能であることを確立し、その結果、余乗法の平方がベース代数上で恒等写像となることを示している。さらに、カルタン部分代数が可換でない場合、同一の C*-代数構造を持つ非同型の C*-量子群コホモロジーが非可算無限個存在することを証明しており、標準的要素のスペクトルデータに結びつく同型不変量に基づく豊かな変形空間を示している。

ABSTRACT

In this work we prove, in full details, that any finite dimensional $C^*$-quantum groupoid can be deformed in order that the square of the antipode is the identity on the base. We also prove that for any $C^*$-quantum groupoid with non abelian base, there is uncountably many $C^*$-quantum groupoids with the same underlying algebra structure but which are not isomorphic to it. In fact, the $C^*$-quantum groupoids are closed in an analog of the procedure presented by D.Nikshych ([N] 3.7) in a more general situation.

研究の動機と目的

• 有限次元 C*-量子群コホモロジーに対する変形手続きを構築し、その結果として余乗法がカルタン部分代数上で自己反復的となるようにすること。
• 同一の C*-代数を共有するが、余乗法および余乗法構造が異なる C*-量子群コホモロジーの同型類の構造を調査すること。
• カルタン部分代数が非可換である場合、同一の C*-代数構造を持つ非可算無限個の非同型 C*-量子群コホモロジーが存在するかどうかを特定すること。
• 部分因子および乗法的部分等長作用素の文脈における既知の変形技法を C*-量子群コホモロジーに拡張すること。
• 変形された C*-量子群コホモロジーの同型類に内在するスペクトル不変量（特に標準的要素のスペクトル）を確立すること。

提案手法

• 変形は、カルタン部分代数 $ A_t $ 内のユニタリ元 $ k $ を用いた共役作用により実装され、余乗法は $ Δ_k(x) = Δ(x)(1 \otimes k^{-1}) $ と定義される。
• 余乗法 $ \kappa_k $ は $ \kappa_k(x) = k \kappa(x) k^{-1} $ として定義され、余汎用 $ \epsilon_k $ は $ \epsilon_k(x) = \epsilon(xk) $ により調整され、C*-量子群コホモロジーの公理が保たれる。
• 元の構造に関連する標準的要素 $ q $ は、変形系において $ k^{-1}q $ に置き換えられ、これが同型の下での主要な不変量となる。
• 証明は、$ N^o \otimes N $ 内に存在する分離要素 $ e $ の構成に依拠しており、これは $ e(a^o \otimes 1) = e(1 \otimes a) $ を満たす正規直交射影である。その性質を用いて変形を定義する。
• 変形はカルタン部分代数の構造を保存するため、基礎となる C*-代数は変化せず、余乗法および余乗法のみが変更される。
• 同型類は $ k^{-1}q $ のスペクトルによって決定され、$ k $ が中心に属さない非可算無限個の選択肢から選べるため、非可算無限個の非同型構造が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限次元 C*-量子群コホモロジーは、余乗法の平方がカルタン部分代数上で恒等写像となるように変形可能か？
• RQ2 カルタン部分代数が非可換な C*-量子群コホモロジーに対して、同一の C*-代数構造を持つ非可算無限個の非同型 C*-量子群コホモロジーが存在するか？
• RQ3 $ k^{-1}q $ のスペクトルは、変形された C*-量子群コホモロジーの同型類の不変量か？
• RQ4 変形手続きは、C*-量子群コホモロジーの公理を保ちつつ、ベース代数上の余乗法の振る舞いを変更するか？
• RQ5 ユニタリ元 $ k $ をカルタン部分代数にとることで、新しい余乗法および余乗法が必要な代数的恒等式を満たすように変形を構成できるか？

主な発見

• 任意の有限次元 C*-量子群コホモロジーは、変形手続きにおいて $ k = q $ を選ぶことで、余乗法の平方がカルタン部分代数上で恒等写像となるように変形可能である。
• カルタン部分代数が非可換である場合、同一の C*-代数構造を持つ非可算無限個の非同型 C*-量子群コホモロジーが存在する。これは、$ k $ の選択が $ k^{-1}q $ のスペクトルを異なるものにし、それらが非同型をもたらすからである。
• $ k^{-1}q $ のスペクトルは、変形された C*-量子群コホモロジーの同型類の不変量である。このため、非同型の構造を区別することが可能である。
• 変形は基礎となる C*-代数およびカルタン部分代数を保存するが、ユニタリ $ k $ を用いた共役作用により余乗法および余乗法を変更する。これにより、新たな構造が C*-量子群コホモロジーの公理を満たす。
• この構成は自己完結的であり、ニクシチの手続きをより限定的な設定に一般化しており、このような変形に関して閉じていることを確認している。
• 標準的要素 $ e \in N^o \otimes N $ で、$ \sum_\gamma \sum_{i,j} \frac{1}{n_\gamma} e^\gamma_{i,j}^o \otimes e^\gamma_{j,i} $ として定義されるもの、は分離構造を定義し、変形を可能にする中心的役割を果たす。