[論文レビュー] Deformation of matrix-valued orthogonal polynomials related to Gelfand pairs

Maarten van Pruijssen, Pablo Román|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ランク1のコン pact Gelfand 対に関連する行列値直交多項式 (MVOPs) の変形法を導入し、全球的関数 $\Psi_0$ を用いて変形下でもSturm-Liouville性を保つ。$(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ の場合、$\Psi_0$ に対してKrawtchouk多項式を用いた明示的公式を導出し、$\mathrm{SU}(n)$ 関連の族が互いに変形可能であることを証明するとともに、$\mathrm{Sp}(n)$ 関連の族が追加の自由パラメータを持つ新たな族を生成することを示した。

ABSTRACT

In this paper we present a method to obtain deformations of families of matrix-valued orthogonal polynomials that are associated to the representation theory of compact Gelfand pairs. These polynomials have the Sturm-Liouville property in the sense that they are simultaneous eigenfunctions of a symmetric second order differential operator and we deform this operator accordingly so that the deformed families also have the Sturm-Liouville property. Our strategy is to deform the system of spherical functions that is related to the matrix-valued orthogonal polynomials and then check that the polynomial structure is respected by the deformation. Crucial in these considerations is the full spherical function $Ψ_{0}$, which relates the spherical functions to the polynomials. We prove an explicit formula for $Ψ_{0}$ in terms of Krawtchouk polynomials for the Gelfand pair $(\mathrm{SU}(2) imes\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$. For the matrix-valued orthogonal polynomials associated to this pair, a deformation was already available by different methods and we show that our method gives same results using explicit knowledge of $Ψ_{0}$. Furthermore we apply our method to some of the examples of size $2 imes2$ for more general Gelfand pairs. We prove that the families related to the groups $\mathrm{SU}(n)$ are deformations of one another. On the other hand, the families associated to the symplectic groups $\mathrm{Sp}(n)$ give rise to a new family with an extra free parameter.

研究の動機と目的

• コンパクト Gelfand 対のランク1に付随する行列値直交多項式 (MVOPs) の変形法を体系的に構築し、その Sturm-Liouville 性を保つこと。
• 球関数の変形と MVOPs における多項式構造の保存との間の関係を確立すること。
• Gelfand 対 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ に対して、全球的関数 $\Psi_0$ を Krawtchouk 多項式の言語で明示的に表現すること。
• 本手法が $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$ に対して既知の変形を再現でき、$\mathrm{SU}(n)$ や $\mathrm{Sp}(n)$ などの他の Gelfand 対へも拡張可能であることを示すこと。
• 変形プロセスが $\partial_y$ のシフトを許容すること、つまり、変形された MVOP 族の微分が変形チェーンにおける次の族に対応することを示すこと。

提案手法

• 本手法は、MVOPs に関連する球関数系を変形し、球関数と多項式の間の橋渡しとして全球的関数 $\Psi_0$ を用いる。
• Krawtchouk 多項式による $\Psi_0$ の明示的表現を用いることで、変形後の系が多項式構造を保つことを保証する。
• 微分作用素 $D$ に変形を適用し、変形された族が同時に固有関数の性質を保ち、Sturm-Liouville 性が維持されることを保証する。
• 本手法は、$\Psi_0$ が球関数と MVOPs を関連づけることを利用しており、$\Psi_0$ の変形が MVOP 系全体の一貫した変形を引き起こす。
• $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ の場合、導出された変形が先行研究の結果と一致することを示すことにより、手法の妥当性を検証した。
• 本手法を [22] の $2\times2$ 例に適用したところ、$\mathrm{SU}(n)$ 関連の族が単一の変形族を形成する一方、$\mathrm{Sp}(n)$ 関連の族は追加の自由パラメータを持つ新たな族を生成することが判明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク1のコンパクト Gelfand 対に付随する MVOPs に対して、Sturm-Liouville 性を保つ体系的な変形法を構築可能か？
• RQ2 Gelfand 対 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ に対して、全球的関数 $\Psi_0$ の明示的形は、古典的直交多項式を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 本手法の下で、$\mathrm{SU}(n)$ 関連の MVOPs 族は単一の変形族を形成するか？
• RQ4 本手法により、$\mathrm{Sp}(n)$ のような他の Gelfand 対に対し、新たな族が得られるか。もし得られるなら、追加の自由パラメータが導入されるか？
• RQ5 変形プロセスは $\partial_y$ と整合性を持つか。つまり、$\kappa$ 番目の族に属する多項式の微分が、$\kappa+1$ 番目の族に属する多項式に対応するか？

主な発見

• Gelfand 対 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ に対して、全球的関数 $\Psi_0$ が Krawtchouk 多項式の線形結合として明示的に表現され、関連する MVOPs の正確な変形が可能となった。
• 提案された変形法は、$(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ 対に対して、行列値 Chebyshev 多項式が行列 Gegenbauer 多項式に変形される既知の結果を再現した。
• $\mathrm{SU}(n)$ に関連する MVOPs 族が、本手法の下で互いに変形可能であり、連続的な単一の族を形成することが示された。
• $\mathrm{Sp}(n)$ の場合、本手法により元の族に存在しない追加の自由パラメータを持つ新たな MVOPs 族が得られた。
• 変形プロセスは $\partial_y$ と整合性を持つ。つまり、$\kappa$ 番目の族に属する多項式の微分が、$\kappa+1$ 番目の族に属する多項式に対応し、変形チェーン全体で構造が保たれる。
• 本手法により、研究された場合の変形された MVOPs に対してロドリゲス型公式が確立され、変形族の構成的特徴付けが得られた。