[論文レビュー] Deformation of maximally supersymmetric Yang-Mills theory in dimensions 10. An algebraic approach

M. V. Movshev|ArXiv.org|Dec 31, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リー代数の変形理論を用いて、任意のゲージ群 $U(N)$ を持つ10次元 $N=1$ ヤン・ミルズ理論の無限小超対称的変形について代数的考察を行う。変形空間の接空間を計算し、第一階層の変形ラグランジアンの一般解を、$σ(10)$-不変な4項の和として特定する。そのうちの1項はレビチビタテンソルとキラル超場成分を用いて構成された新規の項を含む。

ABSTRACT

We make a preliminary algebraic study of supersymmetric deformations of N=1 Yang-Mills theory in dimension ten with an arbitrary gauge group. This is done in a context of Lie algebra deformation theory. The tangent space to the space of deformation is computed.

研究の動機と目的

• 10次元 $N=1$ ヤン・ミルズ理論の無限小超対称的変形を代数的リー変形理論を用いて体系的に研究すること。
• このような変形のモジュライ空間の接空間を計算し、第一階層の項に焦点を当てる。
• $\alpha'^1$ までの次数で、超対称代数の $σ(10)$-不変なオンシェル・インバリアントを分類すること。
• 純スピン子形式とキラル超場統合の役割が、一貫性のある変形を構成する上で果たす役割を調査すること。
• $\alpha'^2$ で割った超対称代数の閉包を理解するためのコホロロジー的枠組みを確立すること。

提案手法

• ラグランジアンおよび超対称変換の形式的べき級数展開を $\alpha'^1$ まで行い、変形された $\theta_\alpha(\alpha')$ におけるオンシェル不変性を課す。
• ハウ＝バーコヴィッツの純スピン子アプローチを、明示的な超対称性を保つホモロジー的枠組みとして用いる。
• 変形可能な項を分類するため、コホロロジー群 $H^i(YM, M^{\tens n})$ の計算を行う。
• $\epsilon^{\alpha_1\dots\alpha_{16}} \theta_{\alpha_1}\dots\theta_{\alpha_{16}} \nu(\nabla,\xi)$ を用いた新規な変形項 $\mathcal{L}'_{IV}$ の構成を行い、これを「キラル奇数統合」として解釈する。
• 普遍包あらゆる代数 $U(TYM)$ のフィルトレーションにスペクトル系列を適用し、$H^1(YM, IU(TYM))$ を計算する。
• $\mathfrak{so}(10)$ の表現論を用いて、コホロロジーを $\mathrm{Spin}(10)$-不変部分空間に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一階層の $\alpha'$ において、$\mathrm{Spin}(10)$-不変かつオンシェルの超対称代数インバリアントの完全な集合は何か？
• RQ2 超対称代数の変形は、オンシェルで閉じる形で第一階層まで一貫して拡張可能か？
• RQ3 純スピン子形式は、10次元における明示的超対称変形を構成する上でどのように役立つか？
• RQ4 キラル超場成分および「キラル奇数統合」は、高次の項を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 変形のモジュライ空間の接空間の構造は何か？ そして、コホロロジーにどのように符号化されるか？

主な発見

• 第一階層の変形ラグランジアン $\mathcal{L}'$ は、$\mathrm{Spin}(10)$-不変な4項の和 $\mathcal{L}'_I$, $\mathcal{L}'_{II}$, $\mathcal{L}'_{III}$, $\mathcal{L}'_{IV}$ として表され、$\mathcal{L}'_I$ は既知の結果を用いて明示的に計算されている。
• 項 $\mathcal{L}'_{IV}$ は $\epsilon^{\alpha_1\dots\alpha_{16}} \theta_{\alpha_1}\dots\theta_{\alpha_{16}} \nu(\nabla,\xi)$ を用いて構成され、ここで $\nu$ は曲率およびスピン場の非可換多項式のトレースである。
• $H^1(YM, IU(TYM))$ は非自明であり、$[1,0,0,0,0] \oplus [0,0,0,1,0]$ に同型であり、後者の成分は高次のコホロロジーに持ち上げられない。
• スペクトル系列の解析により、$H^0(YM, IU(TYM)) = 0$ であることが示され、普遍包あらゆる代数のレベルで自明な変形は存在しない。
• 変形空間の次元の母関数 $\tilde{a}(t)$ は $\tilde{a}(t) = t^8(a(t) - 126t^{-2} - 144t)$ で与えられ、$a(t)$ は明示的に計算されている。
• スペクトル系列における微分 $\delta$ の核は $\Lambda^5(V) + V + S^*$ であることが示され、ここで $S^*$ は双対空間の特定の部分空間である。