[論文レビュー] Deformation of quotients on a product

W. D. Gillam|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スキームの積上の商のための導来変形理論フレームワークを構築し、還元されたアティヤ類を導入して、滑らかな曲線上のベクトルバンドルのQuotスキーム上に完全な障害理論を構成する。$G_m$-可換余接複体とセール双対性を活用することで、核が局所自由であるとき、自然な準同型 $5c5cmathbb{E} \to \u00005c5cmathbb{L}_X$ が完全な障害理論であることが示され、導来圏に基づく内在的構成が得られる。

ABSTRACT

We consider the general problem of deforming a surjective map of modules $f : E o F$ over a coproduct sheaf of rings $B=B_1 \otimes_A B_2$ when the domain module $E = B_1 \otimes_A E_2$ is obtained via extension of scalars from a $B_2$-module $E_2$. Assuming $B_1$ is flat over $A$, we show that the Atiyah class morphism $F o \LL_{B/B_2} \otimes^{\bL} F[1]$ in the derived category $D(B)$ factors naturally through (the shift of) a morphism $β: \Ker f o \LL_{B/B_2} \otimes^{\bL} F$. We describe the obstruction to lifting $f$ over a (square zero) extension $B_1' o B_1$ in terms of $β$ and the class of the extension. As an application, we use the reduced Atiyah class to construct a perfect obstruction theory on the Quot scheme of a vector bundle on a smooth curve (and more generally).

研究の動機と目的

• 積スキーム $X \times Y$ 上で、$E$ が $Y$ から引き戻されたものであるような全射写像 $f: E \to F$ に対する導来変形理論を構築すること。
• 平方ゼロ拡大の上でのこのような写像の持ち上げの障害を、準同型 $\beta: \ker f \to \mathbb{L}_{B/B_2} \otimes^\mathbf{L} F$ を用いて記述すること。
• 滑らかな曲線上のベクトルバンドルのQuotスキーム上に、還元されたアティヤ類を用いて完全な障害理論を構成すること。
• 補助的構成を避けるために、普遍商列のみを用いて、内在的かつ導来圏に基づく障害理論の構成を提供すること。

提案手法

• 導来圏内の可換図式を用いて、$G_m$-可換余接複体がアティヤ類と変形問題を関連付ける。
• 変形理論における重要な準同型として、還元されたアティヤ類 $\beta: N \to \pi_1^*\mathbb{L}_X \otimes^\mathbf{L} F$ を導入する。
• 重み1部分複体関手 $k^1$ を用いて、可換導来圏から古典的アティヤ類および還元されたアティヤ類を抽出する。
• セール双対性とコhomologyと基底変換の定理を用いて、$Y$ がゴレンシュタイン曲線であるとき、$\mathbb{E} = \mathbf{R}\mathcal{H}om(\mathbf{R}\pi_{1*}\mathbf{R}\mathcal{H}om(N,F), \mathcal{O}_X)$ が完全な発散幅 $\subseteq [-1,0]$ を持つことを示す。
• ヨネダの補題を用いて $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ を $D(X)$ 内の準同型として同定し、適切な仮定の下でこれが完全な障害理論であることを証明する。
• 同型 $\operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbb{L}_X, I) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{D(X\times Y)}(N, \pi_1^*I \otimes^\mathbf{L} F)$ を適用して、変形函手と障害理論を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来圏と還元されたアティヤ類を用いて、積スキーム上の商写像の持ち上げの障害はどのように記述できるか？
• RQ2 自然な準同型 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ がQuotスキーム上で完全な障害理論を定義するための条件は何か？
• RQ3 還元されたアティヤ類を用いて、普遍商列から内在的に完全な障害理論を構成できるか？
• RQ4 セール双対性は、積上の商の導来変形理論とどのように作用するか？
• RQ5 複体 $\mathbb{E} = \mathbf{R}\mathcal{H}om(\mathbf{R}\pi_{1*}\mathbf{R}\mathcal{H}om(N,F), \mathcal{O}_X)$ が完全な発散幅 $\subseteq [-1,0]$ を持つための条件は何か？

主な発見

• 還元されたアティヤ類 $\beta: \ker f \to \mathbb{L}_{B/B_2} \otimes^\mathbf{L} F$ はアティヤ類の準同型を因数分解し、平方ゼロ拡大上での $f$ の持ち上げの障害を制御する。
• $X$ がQuotスキームの開部分集合であるとき、自然変換 $\overline{\beta}: \operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbb{L}_X, \_ \,) \to \operatorname{Hom}_{D(X\times Y)}(N, \pi_1^*\_ \otimes^\mathbf{L} F)$ は $H^0$ で同型であり、$H^1$ で単射である。
• $Y$ がゴレンシュタイン曲線であり、$N$ が局所自由であるとき、複体 $\mathbb{E} = \mathbf{R}\mathcal{H}om(\mathbf{R}\pi_{1*}\mathbf{R}\mathcal{H}om(N,F), \mathcal{O}_X)$ は完全な発散幅 $\subseteq [-1,0]$ を持つ。
• ヨネダの補題を経由して得られる準同型 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ は、提示された仮定の下で $X$ 上の完全な障害理論である。
• この構成は、補助的構成に依存せず、普遍商列のみを用いて、Quotスキーム上に内在的かつ導来圏に基づく完全な障害理論を提供する。
• 滑らかな曲線 $Y$ の場合、普遍商の核 $N$ は常に局所自由であるため、完全な障害理論はQuotスキームの開部分集合上で普遍的に適用可能である。