[論文レビュー] Deformation of Sasakian metrics

Hiraku Nozawa|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Sasakian多様体上のReebフローの小さな変形が、$(0,2)$-成分が消える場合に限り、それに適合するSasakian計量をもつことを確立する。変形理論的アプローチとして、横断的に正則なRiemann的フローと、基本的Dolbeaultコホモロジーに対するKodaira-Akizuki-Nakano型の消滅定理を用いて、このような変形における正のSasakian計量の安定性を証明し、フローの横断的幾何のコホモロジー構造に起因する障害を解消する。

ABSTRACT

Deformations of the Reeb flow of a Sasakian manifold as transversely Kähler flows may not admit compatible Sasakian metrics anymore. We show that the triviality of the (0,2)-component of the basic Euler class characterizes the existence of compatible Sasakian metrics for given small deformations of the Reeb flow as transversely holomorphic Riemannian flows. We also prove a Kodaira-Akizuki-Nakano type vanishing theorem for basic Dolbeault cohomology of homologically orientable transversely Kähler foliations. As a consequence of these results, we show that any small deformations of the Reeb flow of a positive Sasakian manifold admit compatible Sasakian metrics.

研究の動機と目的

• Sasakian多様体上のReebフローの小さな変形が、それに適合するSasakian計量をもつための条件を同定すること。
• 特に、基本的Euler類の$(0,2)$-成分に起因する、その適合性の障害を特定すること。
• 同調的可換な横断的にKählerなfoliationの文脈において、基本的Dolbeaultコホモロジーに対するKodaira-Akizuki-Nakano型の消滅定理を確立すること。
• 正のSasakian計量が、Reebフローの小さな変形のもとで安定することを証明すること。
• 固定された横断的にKählerなフロー構造をもつSasakian計量のモジュライ空間を分析すること。

提案手法

• 著者たちは、閉多様体上でのReebフローの変形を、横断的に正則なRiemann的フローとして分析する。
• 微分作用素$ D $を導入し、Riemann的フローの平均曲率形式を研究することで、幾何的データとコホモロジー不変量との関係を明らかにする。
• 主な技術的道具は、自己随伴強楕円型微分作用素の族にKodaira-Spencer理論を適用することであり、幾何的にタイトなRiemann的フローの不変性を活用する。
• 基本的Dolbeaultコホモロジーに対する消滅定理を、Bochner-Kodaira-Nakanoの恒等式と$ \mathcal{F} $-ファイバー化されたHermitian正則線束上のHodge分解を用いて証明する。
• 内積をEl Kacimi-Alaoui–Hector形式を介して基本的微分形式に構成し、形式的随伴作用素を確立する。
• 安定性結果は、基本的Euler類の$(0,2)$-成分の消滅が、適合Sasakian計量の滑らかな族の存在を保証することを示すことによって得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sasakian多様体上のReebフローの小さな変形が、それに適合するSasakian計量をもつための条件は何か？
• RQ2 基本的Euler類の$(0,2)$-成分は、適合Sasakian計量の存在を妨げる要因として果たす役割は何か？
• RQ3 横断的にKählerなfoliationの基本的Dolbeaultコホモロジーに対して、Kodaira-Akizuki-Nakano型の消滅定理を確立できるか？
• RQ4 正のSasakian計量は、Reebフローの小さな変形のもとで安定性を保つのか？
• RQ5 Sasakian計量のモジュライ空間は、その下位の横断的にKählerなフロー構造とどのように関係するか？

主な発見

• Reebフローの小さな変形が適合Sasakian計量をもつことの必要十分条件は、基本的Euler類の$(0,2)$-成分が自明であることである。
• 同調的可換な横断的にKählerなfoliationの基本的Dolbeaultコホモロジーに対して、Kodaira-Akizuki-Nakano型の消滅定理が成り立ち、コホモロジー的制御が可能になる。
• 正のSasakian多様体においては、すべてのReebフローの小さな変形が、横断的Kähler構造の正の性質により$(0,2)$-成分が消えるため、適合Sasakian計量をもつ。
• 標準的Sasakian構造をもつ$ S^{2n-1} $の場合は、Sasakian計量の同型類のモジュライ空間は、その下位の横断的にKählerなフローの同型類の空間に同型である。
• 複素トーラス上の円バンドルにおいて、底が非射影的である場合には、Reebフローを変形した際に適合Sasakian計量が存在しなくなる例があり、$(0,2)$-成分の障害が非自明であることを示している。
• 複素射影空間$ \mathbb{C}P^{n-1} $上での横断的に正則なフロー変形のKuranishi空間は$ H^0(\mathbb{C}P^{n-1}, T^{1,0}\mathbb{C}P^{n-1}) $に同定され、$ H^{0,2}(\mathbb{C}P^{n-1}) = 0 $であるため、標準的Sasakian計量は安定である。