[論文レビュー] Deformation of singular connections I: $G_{2}-$instantons with point singularities

Yuanqi Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、7次元多様体上の $G_2$-インスタントンが点特異点を有する場合に、それらのインスタントンと特異点が $G_2$-構造の小さな摂動に対しても検出可能であることを示す、Fredholm理論を確立する。主な結果は、自明な余核を有する適切な $G_2$-インスタントンに対して、近傍の $G_2$-構造が、特異点における接空間接続と同一のものを有する $G_2$-モノポールを許容することを示しており、特異点構造が保存されることを示している。

ABSTRACT

In dimension 7, we establish a Fredholm theory for a Dirac-type operator associated to a connection with point singularities. There are two applications. $1$. over a closed 7-manifold, under some natural conditions, a $G_{2}-$instanton and its point singularities can still be "seen" when the $G_{2}-$structure is properly perturbed. $2$. over a ball in $\R^{7}$, for any almost-Euclidean $G_{2}-$structure, there exists a $G_{2}-$monopole asymptotic to an arbitrary Hermitian Yang-Mills connection on $S^{6}$.

研究の動機と目的

• 7次元多様体上に点特異点を有する $G_2$-インスタントンの変形理論を構築すること。
• 小さな $G_2$-構造の摂動に対して、$G_2$-インスタントンの特異点が存続するか、消えるかを理解すること。
• 特異的状況下での $G_2$-インスタントン方程式の線形化作用素に対するFredholm理論を確立すること。
• 線形化作用素の余核を特徴づけ、一般の場合に横断的性を証明すること。
• モデル錐設定下で、$S^6$ 上のヘルミート・ヤン・ミルズ接続に漸近する $G_2$-モノポール方程式の解を構成すること。

提案手法

• 重み付きソボレフ空間および Hölder 空間を用いて、特異接続に関連するディラック型作用素に対するFredholm理論を構築する。
• 錐接続上のラプラシアンに対して変数分離を適用し、ガラーキン法を用いて局所的逆作用素の構成を可能にする。
• Douglis-Nirenberg Schauder 評価と、十分に負の $p$ を用いた $W^{1,2}_{p,b}$-評価から導出された新規の $C^0$-評価を用いる。
• 重み付き $C^{2,eta}$ と重み付き $W^{1,2}_{p,b}$ のノルムを組み合わせたハイブリッド関数空間を導入し、非線形項の制御を行う。
• カットオフ関数と重み付き体積形式を用いた部分積分を用いてエネルギー評価を導出し、曲率の発散を制御する。
• 線形化作用素 $L_A$ が適切な重み付きソボレフ空間間で $(p,b)$-Fredholm であることを証明し、変形理論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G_2$-インスタントンが点特異点を有する場合、$G_2$-構造の小さな摂動に対して変形可能であり、特異点が存続するか？
• RQ2 特異的状況下で、$G_2$-インスタントン方程式の線形化作用素はFredholm的か？そのインデックスは何か？
• RQ3 $G_2$-モノポールを構成し、特異点における接空間接続に漸近的に一致させることは可能か？
• RQ4 線形化作用素の余核の構造は何か？一般には自明か？
• RQ5 重み付き関数空間を用いて、特異点近傍における $G_2$-インスタントン方程式の非線形項をどのように制御できるか？

主な発見

• 線形化作用素 $L_A$ は、$A$-一般の負の $p$ および $b \geq 0$ に対して、重み付きソボレフ空間 $W^{1,2}_{p,b}$ と $L^2_{p,b}$ 間で $(p,b)$-Fredholm であることが示され、基礎的なFredholm理論が確立された。
• 十分に負の $p$ を用いた $W^{1,2}_{p,b}$-評価と組み合わせることで、$C^0$-評価が達成され、非線形項の制御に不可欠な役割を果たす。
• 一般の特異インスタントンに対して、$L_A$ の余核は自明である。これは、モジュライ空間のコンパクト化における横断的性を示唆する。
• $τ^7$ 上のほぼユークリッド的 $G_2$-構造に対して、任意の球上では、$S^6$ 上のヘルミート・ヤン・ミルズ接続に漸近する $G_2$-モノポールが存在し、原点における接空間が同一である。
• モデルケースにおいて、錐接続上のラプラシアンの局所的逆作用素の構成は、変数分離とガラーキン法に依存する。
• カットオフ関数を用いた部分積分によるエネルギー評価から、特異点における曲率の発散が、接続1次形式およびその微分の $L^2$-ノルムによって制御されることを示した。