[論文レビュー] Deformation of sl(2) and osp(1|2)-Modules of Symbols

Imed Basdouri, Mabrouk Ben Ammar|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、重み付き密度および超密度上の $ \mathfrak{sl}(2)$ および $ \mathfrak{osp}(1|2) $-加群の変形を研究する。無限小変形の積分可能性の必要十分条件を導出し、任意の形式的変形がその無限小部分と同値であることを証明する。また、古典的および超対称設定の両方における1パラメータ変形の明示的構成も行う。

ABSTRACT

We consider the sl(2)-module structure on the spaces of symbols of differential opera- tors acting on the spaces of weighted densities. We compute the necessary and sufficient integrability conditions of a given infinitesimal deformation of this structure and we prove that any formal deformation is equivalent to its infinitesimal part. We study also the super analogue of this problem getting the same results.

研究の動機と目的

• 重み付き密度上の微分作用素の記号空間における $ \mathfrak{sl}(2) $-加群構造のすべての形式的変形を分類すること。
• この分類を超対称設定に拡張し、超密度上の $ \mathfrak{osp}(1|2) $-加群の変形を分析すること。
• 無限小変形が形式的変形に積分可能であるための必要十分条件を特定すること。
• これらの加群の任意の形式的変形がその無限小部分と同値であることを証明し、非自明な高次の障害が存在しないことを示すこと。
• 古典的および超対称ケースにおける1パラメータ変形の明示的例を構成すること。

提案手法

• Lie代数コホモロジーを用いて、記号空間上の $ \mathfrak{sl}(2) $-および $ \mathfrak{osp}(1|2) $-加群構造の無限小変形を分析する。
• $ \mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(2) $ または $ \mathfrak{osp}(1|2) $ に対して、第一階変形空間 $ \mathrm{H}^1_{\mathrm{diff}}(\mathfrak{g}, \mathfrak{D}_\delta) $ を計算し、コホモロジー類の生成子を特定する。
• 係数が $ \mathfrak{a}_k, \mathfrak{b}_k, \mathfrak{c}_k $ でパrameter化された1-コサイクルの和として無限小変形を構成する：$ \widetilde{\mathfrak{L}}_{X_F} = \mathfrak{L}_{X_F} + \mathfrak{L}^{(1)}_{X_F} $。
• 第二階項がコホモロジーで消えるように要求することで積分可能性条件を導出し、方程式 $ \mathfrak{b}_k\mathfrak{a}_{1-k} - \mathfrak{c}_k\mathfrak{a}_k + \mathfrak{c}_k\mathfrak{a}_{1-k} = 0 $ に至る。
• 障害2-コサイクル $ \Omega_k $ が非自明であることを証明し、積分可能性条件が必要かつ十分であることを保証する。
• ゲージ変換による変形の同値性を用いて、任意の形式的変形がその無限小部分と同値であることを示し、高次の障害が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限小変形が $ \mathfrak{sl}(2) $-記号加群に形式的変形に積分可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 $ \mathrm{H}^1_{\mathrm{diff}}(\mathfrak{sl}(2), \mathfrak{D}_\delta) $ および $ \mathrm{H}^1_{\mathrm{diff}}(\mathfrak{osp}(1|2), \mathfrak{D}_\delta) $ のコホモロジー構造は、これらの加群の変形理論にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $ \mathfrak{osp}(1|2) $-加群構造の超記号上での任意の形式的変形は、その無限小部分に還元可能か？
• RQ4 非自明な2-コサイクル $ \Omega_k $ は、変形の積分可能性を妨げるか、あるいは可能にするか、その役割は何か？
• RQ5 パrameter $ \mathfrak{a}_k, \mathfrak{b}_k, \mathfrak{c}_k $ は、超対称ケースにおける1パラメータ変形の構造をどのように制御するか？

主な発見

• $ \mathfrak{sl}(2) $ に対して、記号加群 $ \mathcal{S}_\delta $ の任意の形式的変形は、その無限小部分と同値であり、非自明な高次の変形は存在しない。
• $ \mathfrak{osp}(1|2) $ に対して、無限小変形の積分可能性は、$ 2\delta = m \in \mathbb{N}+1 $ のとき $ 1 \leq k \leq m $ に対して方程式 $ \mathfrak{b}_k\mathfrak{a}_{1-k} - \mathfrak{c}_k\mathfrak{a}_k + \mathfrak{c}_k\mathfrak{a}_{1-k} = 0 $ で規定される。
• コホモロジー空間 $ \mathrm{H}^1_{\mathrm{diff}}(\mathfrak{osp}(1|2), \mathfrak{D}_\delta) $ は非自明であり、二つの1-コサイクル $ \Upsilon_k $ および $ \widetilde{\Upsilon}_k $ で張られる成分に分解される。
• 障害2-コサイクル $ \Omega_k $ は非自明で奇数次元であり、積分可能性条件が変形の延長に対して必要かつ十分であることを保証する。
• 明示的な1パラメータ変形が存在し、積分可能性条件を満たす自由パラメータ $ \mathfrak{a}_k $, $ \mathfrak{b}_k $, $ \mathfrak{c}_k $ を用いた無限小部分からの構成が可能である。
• 形式的変形がその無限小部分と同値であることは、変形理論が第一階コホモロジーによって完全に制御され、高次の障害が存在しないことを示唆する。