[論文レビュー] Deformation Openness and Closedness of Various Classes of Compact Complex Manifolds; Examples

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、コンpakト複素多様体のホロモルフィック族における主要な幾何的性質—ケーラー、バランス、強くガウディュロン（sG）、$\nabla\bar{\partial}$-補題、Frölicherスペクトル系列の$E_1$での退化—について、変形の開性および閉性を検討する。sG条件が、特徴的なプロジェクト型およびモイシヘゾン多様体の変形極限を理解する上で中心的であることを示し、例を用いて$\nabla\bar{\partial}$-補題およびFrölicher退化が一般に変形開または変形閉でないことを示している。特に次元$n \geq 3$において顕著である。主な貢献は、twistor空間とニルマンゴルドを重要な反例として用いて、これらの性質が変形で保存されない理由を明確にすることにある。

ABSTRACT

We review the relations between compact complex manifolds carrying various types of Hermitian metrics (Kähler, balanced or {\it strongly Gauduchon}) and those satisfying the $\partial\bar\partial$-lemma or the degeneration at $E_1$ of the Frölicher spectral sequence, as well as the behaviour of these properties under holomorphic deformations. The emphasis will be placed on the notion of {\it strongly Gauduchon} (sG) manifolds that we introduced recently in the study of deformation limits of projective and Moishezon manifolds. Various examples of sG and non-sG manifolds are exhibited while a range of constructions already known in the literature are reviewed and reinterpreted from this new standpoint.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体のホロモルフィック変形におけるヘルミート計量クラス—ケーラー、バランス、強くガウディュロン（sG）—の挙動を分析すること。
• $\nabla\bar{\partial}$-補題、$E_1$でのFrölicherスペクトル系列の退化、およびケーラー電流または整数コホモロジー類の存在との関係を明確にすること。
• 次元$n \geq 3$において、$\nabla\bar{\partial}$-補題およびFrölicher退化が変形開または変形閉の性質であるかどうかを特定すること。
• twistor空間とニルマンゴルドが、幾何的構造の変形不変性をテストするための試験台として果たす役割を調査すること。
• 特に${\cal C}$類およびモイシヘゾン性質と関連して、twistor空間上で$\nabla\bar{\partial}$-補題が成り立つ条件を特徴づけること。

提案手法

• 変形極限を分析するための中心的ツールとして、$\partial\omega^{n-1}$が$\bar{\partial}$-exactであるという条件で定義される強いつつガウディュロン（sG）計量の概念を用いる。
• Demailly-PaunおよびJi-Shiffmanの定理を応用し、整数コホモロジー類を伴うケーラー電流の存在によって${\cal C}$類およびモイシヘゾン多様体を特徴付ける。
• $\partial\bar{\partial}$-補題および$E_1$でのFrölicherスペクトル系列の退化が変形不変性に与える影響を、コホモロジー的基準を用いて分析する。
• Riemann面上のランク2ベクトルバンドルの安定変形を構成するEastwood-Singerの方法を用い、twistor空間の族を生成する。
• ニルマンゴルドを用いて、$\partial\bar{\partial}$-補題がケーラー性を意味することを示し、したがってニルマンゴルドの文脈では、両者を満たすのは複素トーラスに限ることを示す。
• CampanaおよびLeBrun-Poonのtwistor空間を検討し、$\partial\bar{\partial}$-補題が変形で保存されるか否かをテストするが、特に非モイシヘゾンなファイバーにおいて注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\partial\bar{\partial}$-補題は変形開か？すなわち、ホロモルフィック族の中心ファイバーが$\partial\bar{\partial}$-補題を満たすならば、近傍のファイバーも同様に満たすのか？
• RQ2 $\partial\bar{\partial}$-補題は変形閉か？すなわち、すべての近傍ファイバーが$\partial\bar{\partial}$-補題を満たすならば、中心ファイバーも同様に満たすのか？
• RQ3 ${\cal C}$類に属さないtwistor空間上でも$\partial\bar{\partial}$-補題が成立しうるか？
• RQ4 $E_1$でFrölicherスペクトル系列が退化するが$\partial\bar{\partial}$-補題が成立しないtwistor空間が存在するか？
• RQ5 ベースとなる4次元多様体$M$にどのような幾何的条件を課すと、twistor空間$Z$が$\partial\bar{\partial}$-補題を満たすようになるか？

主な発見

• $\partial\bar{\partial}$-補題は変形開でない：中心ファイバーが$\partial\bar{\partial}$-補題を満たすが、近傍のファイバーが満たさないようなホロモルフィック族が存在する。
• $\partial\bar{\partial}$-補題は変形閉でない：すべての近傍ファイバーが$\partial\bar{\partial}$-補題を満たすが、中心ファイバーが満たさないような族が存在する。
• CampanaおよびLeBrun-Poonのtwistor空間の例は、非モイシヘゾンなファイバーで$\partial\bar{\partial}$-補題が成立しないことを示しており、中心ファイバーがモイシヘゾンである場合、性質が変形開でないことを示唆している。
• 次元$n \geq 3$では、ケーラー$\Rightarrow$バランス$\Rightarrow$ sG$\Rightarrow$ ガウディュロンという包含関係は厳密であり、$n=2$の場合と異なり、等価性は成立しない。
• ニルマンゴルドでは、$\partial\bar{\partial}$-補題が成り立つのは、複素トーラスに限る。これは、このクラスでは$\partial\bar{\partial}$-補題がケーラー性を意味することを示している。
• Eastwood-Singerの構成における安定変形の存在は、ファイバーを$\partial\bar{\partial}$-補題を満たすように選べる可能性を示唆するが、すべてのこのような族でそれが保証されるわけではない。