[論文レビュー] Deformation principle and problem of parallelism in geometry and physics

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Oct 27, 2002

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、世界関数を介してユークリッド幾何学を変形することで非一様幾何を構成する変形原理を導入し、リーマン幾何学の平行移動の定義の整合性に疑問を呈する。従来のリーマン的定義は絶対的平行移動の欠如を招き、非リーマン幾何を差別するとしている。代わりに、プランク定数を含む歪み関数を用いて、量子効果の幾何的基盤を提案する。

ABSTRACT

The deformation principle admits one to obtain a very broad class of nonuniform geometries as a result of deformation of the proper Euclidean geometry. The Riemannian geometry is also obtained by means of a deformation of the Euclidean geometry. Application of the deformation principle appears to be not consecutive, and the Riemannian geometry appears to be not completely consistent. Two different definitions of two vectors parallelism are investigated and compared. The first definitions is based on the deformation principle. The second definition is the conventional definition of parallelism, which is used in the Riemannian geometry. It is shown, that the second definition is inconsistent. It leads to absence of absolute parallelism in Riemannian geometry and to discrimination of outcome outside the framework of the Riemannian geometry at description of the space-time geometry.

研究の動機と目的

• 公理的体系に依存せずに、世界関数を用いたユークリッド幾何の変形によって物理的幾何を確立すること。
• 著者によれば、従来のリーマン的平行移動の定義は整合性に欠け、絶対的平行移動を生じさせないとして、その定義に反論すること。
• 非退化な時的チューブが存在する場合、自由粒子の運動が確率的になるため、ミンコフスキー時空幾何は真の物理的幾何ではないことを示すこと。
• 量子定数 ℏ を組み込んだ新しい時空幾何を提案し、非相対論的量子効果を幾何的現象として説明すること。
• 変形に基づく定義を導入することで、あらゆる幾何において絶対的平行移動を保つ、平行移動の問題を解決すること。

提案手法

• すべての幾何的定義および関係式において、ユークリッド的世界関数 σ_E を変形された世界関数 σ_A に置き換えることで物理的幾何を構築する。
• 幾何的対象および関係を σ-不変的（σの言及のみに依存）に定義する。これにより、変形に対しても一貫性が保証される。
• 関係式 |(e·e)(x·x) - (e·x)²| = 0 を用いて、ベクトルの観点から「直線」を定義し、リーマン幾何を越えた一般化を図る。
• ミンコフスキー的世界関数 σ = σ_M + D(σ_M) において、歪み関数 D(σ_M) を導入し、非退化な時的チューブおよび確率的運動をモデル化する。
• σ_M > σ₀ ≈ ℏ/(2bc) の場合、D(σ_M) = ℏ/(2bc) と設定することで、量子効果を幾何的に埋め込む。ここで b は新たな普遍定数である。
• 変形原理を適用し、リーマン的アプローチの曖昧さを避ける一貫したベクトルの平行移動の定義を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 公理的体系に依存せずに、ユークリッド幾何の変形によって一貫性のある非リーマン幾何を構築できるか？
• RQ2 従来のリーマン的平行移動の定義はなぜ絶対的平行移動を保証できないのか？物理的結果は何か？
• RQ3 非ゼロの歪み関数 D(σ_M) が時空における粒子運動の決定論的性質に与える影響は何か？
• RQ4 確率的粒子運動のような量子効果は、変形された時空幾何の幾何的結果として説明可能か？
• RQ5 世界関数 σ が、計量制約に依存しない形で幾何的対象および関係を定義する役割は何か？

主な発見

• リーマン的平行移動の定義は、一意性を損なうため、複数の等価なベクトルが遠く離れたベクトルと平行と見なされるため、絶対的平行移動が欠如する。
• リーマン幾何において、絶対的平行移動の欠如は、特に相対論的物理学において、非リーマン幾何を差別する結果となる。
• ミンコフスキー時空幾何は一様かつ等方的ではあるが、歪み関数 D(σ_M) ≠ 0 の場合、自由粒子の決定的運動を記述できず、確率的世界線が生じる。
• σ_M > σ₀ ≈ ℏ/(2bc) の場合、D(σ_M) = ℏ/(2bc) とすると、得られる幾何は自然に量子効果を組み込み、非相対論的量子現象を幾何的性質として説明できる。
• ミンコフスキー時空における時的「直線」は1次元で退化しているが、空間的「直線」は3次元の曲面である。これは、タキオンが1次元軌道として検出不能である可能性を示唆する。
• 変形原理により、絶対的平行移動を保ち、リーマン的アプローチの不整合を回避する、一貫したσ-不変的幾何構築が可能となる。