[論文レビュー] Deformation quantization and semiclassical expansion in many-body potential scattering problem

M. I. Krivoruchenko, Christopher A. Fuchs+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、変形量力学に基づく微分幾何的特徴量から導かれる量子的特徴量を用いて、多体系ポテンシャル散乱の半古典的アプローチを提案する。量子的特徴量をプランク定数ħのべき級数に展開することで、多体系問題を軌道およびその初期条件に関する微分の常微分方程式に還元し、非局所性やコherenceといった量子効果を一貫して組み込みつつ、時間に依存する物理的観測量の高精度な計算を可能にする。

ABSTRACT

In quantum mechanics, systems can be described in phase space in terms of the Wigner function and star-product operation. Quantum characteristics, which appear in the Heisenberg picture as the Weyl's symbols of operators of canonical coordinates and momenta, can be used to solve evolution equations for symbols of other operators acting in the Hilbert space. To any fixed order in the Planck's constant, many-body potential scattering problem simplifies to a statistical-mechanical problem of computing an ensemble of quantum characteristics and their derivatives with respect to initial canonical coordinates and momenta. The reduction to a system of ordinary differential equations pertains rigorously at any fixed order in $\\hbar$. We present semiclassical expansion of quantum characteristics for many-body scattering problem and provide tools for calculation of average values of time-dependent physical observables. The method of quantum characteristics admits the consistent incorporation of specific quantum effects, such as non-locality and coherence in propagation of particles, into semiclassical transport models.

研究の動機と目的

• 量子力学における多体系ポテンシャル散乱の体系的半古典的フレームワークの構築を目的とする。
• 量子力学的時間発展方程式の複雑さを、量子的特徴量のための常微分方程式に還元することを目的とする。
• 位相空間手法を用いて時間に依存する物理的観測量の計算を可能とすることを目的とする。
• 半古典的輸送モデルに非局所的およびコherentな量子効果を一貫して組み込むこと。

提案手法

• 位相空間における量子系の記述に、ウィグナー関数とスタープロダクト形式を用いる。
• 位置および運動量のハイゼンベルク図形演算子のWeyl記号として、量子的特徴量を定義する。
• プランク定数ħのべき級数に沿って量子的特徴量を展開することで、半古典的近似を達成する。
• 初期条件に関する量子的特徴量およびその微分の時間発展方程式を導出する。
• 多体系散乱問題を位相空間における軌道およびそのヤコビアンの集合の計算に還元する。
• 位相空間積分を用いて、時間に依存する観測量の平均値を計算するためにこの手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多体系散乱において、量子的特徴量をプランク定数のべき級数として体系的に展開する方法は何か？
• RQ2 量子的特徴量は、時間に依存する観測量の計算を簡略化するために果たす役割は何か？
• RQ3 非局所的およびコherentな量子効果は、どのように半古典的輸送モデルに一貫して組み込まれるか？
• RQ4 固定されたħの次数において、多体系散乱問題はどの程度常微分方程式系に還元可能か？
• RQ5 この手法は、多体系系において古典力学を越えた量子補正を正確に記述できるか？

主な発見

• 任意の固定されたħの次数において、多体系ポテンシャル散乱問題が量子的特徴量の常微分方程式系に厳密に還元されることを示した。
• 量子的特徴量およびその微分は、位相空間における演算子時間発展の完全な記述を提供する。
• 半古典的展開により、時間に依存する物理的観測量の平均値の高精度な計算が可能になる。
• この手法は、輸送モデルに非局所的およびコherentな量子効果を一貫して組み込むことができる。
• 形式的体系により、ħ → 0極限における古典力学と整合的な方法で、量子補正を体系的に組み込むことが可能である。
• 位相空間軌道およびそのヤコビアンを用いた量子多体系系のシミュレーションに実用的なフレームワークを提供する。