[論文レビュー] Deformation quantization of a Kaehler-Poisson structure vanishing on a Levi nondegenerate hypersurface

Alexander Karabegov|ArXiv.org|Aug 2, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン非退化超曲面で消失し、それ以外では非退化である複素多様体にKähler-Poisson構造を持つ場合の、変形量子化と変数分離の存在についての初等的証明を提供する。局所的に空間を引き上げて形式的変形を施し、元の多様体に戻す投影を用いることで、標準的な変数分離型スター積を非退化領域の外にまで拡張し、特異的特徴を保ちながら滑らかに拡張される。

ABSTRACT

We give an elementary proof of the result by Leichtnam, Tang, and Weinstein that there exists a deformation quantization with separation of variables on a complex manifold endowed with a Kaehler-Poisson structure vanishing on a Levi nondegenerate hypersurface and nondegenerate on its complement.

研究の動機と目的

• Kähler-Poisson多様体上で、Poisson構造がリーマン非退化超曲面で消失し、それ以外では非退化である場合の、変数分離型変形量子化の存在について、初等的かつ自己完結的な証明を提供すること。
• 超曲面の非退化領域における標準的な変数分離型スター積を、特異的特徴を保ちながら全多様体へと拡張すること。
• Leichtnam, Tang, および Weinstein らの先行研究で用いられたような、para-Kähler Lie アルゲブライドのような高度な道具に依存せずに、このような量子化を構成できることを示すこと。
• 局所的なスター積の性質を尊重し、群作用の不変性を保証するような、CP^n の例に示されるように、グローバルな構成を確立すること。

提案手法

• 超曲面 $S$ の定義関数 $\psi$ を用いて、局所的に多様体を $\tilde{U} = U \times \mathbb{C}^\times$ の積空間に引き上げる。このとき新たな座標 $u$ を導入する。
• 関数 $\psi$ の二階微分から得られるヘルミート行列 $\Gamma$ を定義し、その逆行列性を仮定することで、$\tilde{U}$ 上に擬似Kähler構造を構成する。
• 引き上げられた空間上の形式的ローレンツ級数の空間 $\mathcal{F}(\tilde{U})$ に、標準的な変数分離型変形量子化を用いて形式的スター積 $*$ を定義する。
• $(\frac{h}{u\bar{u}})$ の非負冪を含む部分代数 $\mathcal{F}_{\geq 0}(\tilde{U})$ を定義し、$\sigma(\sum_r (\frac{h}{u\bar{u}})^r f_r) = \sum_r N_r(\nu) \psi^r f_r$ を用いて $C^\infty(U)[[\nu]]$ への射影 $\sigma$ を構成する。ここで $N_r(\nu)$ は正規化係数である。
• スター積 $*$ の $\sigma$ による引き戻しにより、$U$ 上に新しいスター積 $\star$ が定義され、これは $U \setminus S$ において元の標準的積と一致し、$S$ を超えて滑らかに拡張される。
• 重ね合わせのチャート間での整合性を保つために、$M \setminus S$ 上で $\log|\psi|$ が擬似Kähler形式 $\omega$ のポテンシャルであるように、局所的定義関数 $\psi$ を選ぶことで、グローバル化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kähler-Poisson多様体上で、Poisson構造がリーマン非退化超曲面で消失し、それ以外では非退化である場合、変数分離型変形量子化を構成できるか？
• RQ2 非退化領域における標準的スター積が、特異的特徴を保ちながら全多様体へ滑らかに拡張可能か？
• RQ3 先行研究で用いられたような、para-Kähler Lie アルゲブライドのような高度な幾何的道具に依存せずに、この拡張が達成可能か？
• RQ4 Poisson構造が非退化になる高次元空間へのスター積の自然な上昇が可能か？これにより、構成的拡張が可能になるか？
• RQ5 このような量子化は、$\mathbb{C}P^n$ の例における $SU(n,1)$ 対称性のように、群作用の下で不変となるようにグローバルに定義可能か？

主な発見

• Poisson構造がリーマン非退化超曲面 $S$ で消失するKähler-Poisson多様体 $M$ 全体に対し、擬似Kähler多様体 $M \setminus S$ 上の標準的変形量子化と変数分離型が、滑らかに拡張され、有効な変数分離型変形量子化を形成する。
• この拡張は、$\tilde{U} = U \times \mathbb{C}^\times$ 上の形式的スター積から得られる射影 $\sigma$ を用いて達成され、結果として得られるスター積 $\star$ は $U$ 上で滑らかであり、$U \setminus S$ において元の積と一致する。
• スター積展開における双微分作用素 $C_r(f,g)$ は、$S$ 上で $f \star g - fg = 0$ を満たすことが示され、特異的特徴において1次で消失することが確認され、要求される性質を満たす。
• この構成は局所的であり、重なり合うチャート間でも整合性を持つ。$M \setminus S$ 上で $\log|\psi|$ が擬似Kähler形式 $\omega$ の局所的ポテンシャルであるという条件を満たす限り、グローバルな拡張が可能である。
• この方法は、[LTW] で用いられた para-Kähler Lie アルゲブライドのアプローチとは異なり、形式的級数と座標の引き上げ技術のみに依存する初等的な代替手法を提供する。
• $\mathbb{C}P^n$ と単位球面 $S$ の例において、この構成は $SU(n,1)$-不変なグローバルスター積を生成し、$\mathbb{C}^n \setminus S$ において標準的変数分離型積と一致する。これは、対称的状況下での本手法の有効性を示している。