[論文レビュー] Deformation Quantization of Lagrangean Fiber Bundles

Nicolai Reshetikhin, Milen Yakimov|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティック多様体 M 上の滑らかな関数の代数に、点乗積を保存するスター積を導入する。ここで、π: M → B はラグランジュ被覆であり、π∗(C∞(B))[[ħ]] の部分代数上で点乗積が保存される。本稿は、このようなスター積の同値類と、πがラグランジュのままであるようなシンプレクティック形式 ω の変形の間の全単射を確立する。

ABSTRACT

Dedicated to the memory of Moshé Flato Let (M, ω) be a symplectic manifold. A Lagrangean fiber bundle π: M → B, determines a completely integrable system on M. First integrals of this system are the pull–backs of functions on the base of the bundle. We show that for each Lagrangean fiber bundle π there exist star products on C ∞ (M)[[�]] which do not deform the pointwise multiplication on the subalgebra π ∗ (C ∞ (B))[[�]]. The set of equivalence classes of such star products is in bijection with the deformations of the symplectic form ω for which π: M → B remains Lagrangean taken modulo formal symplectomorphisms of M. 1

研究の動機と目的

• C∞(M)[[ħ]] 上のスター積を構成し、π∗(C∞(B))[[ħ]] の部分代数上で点乗積を変形しないこと。
• このようなスター積の同値類の集合をシンプレクティック形式 ω の変形によって特徴づけること。
• これらの同値類と、ラグランジュ被覆構造を保つ ω の変形との間の全単射を確立すること。ただし、形式的シンプレクティズムを除く。
• シンプレクティック幾何学におけるラグランジュ被覆の文脈に、変形量子化の技法を一般化すること。

提案手法

• C∞(M)[[ħ]] 上のスター積を構成し、部分代数 π∗(C∞(B))[[ħ]] 上での点乗積を保存すること。
• 被覆構造 π: M → B を用いて、M 上の完全可積分系の第一積分を B 上の関数の引き戻しとして特定すること。
• π の纤维に対してラグランジュ条件を維持するようなシンプレクティック形式 ω の変形を分析すること。
• このようなスター積の同値類と、M 上の形式的シンプレクティズムを除く ω の変形との間の対応関係を確立すること。
• 代数的構造と ω の幾何的変形との関係を、変形量子化およびシンプレクティック幾何学の技法を用いて関係づけること。
• 形式的べき級数としての ħ を用いて変形パラメータを記述し、ラグランジュ被覆構造と整合性を保つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C∞(M)[[ħ]] 上のどのスター積が、部分代数 π∗(C∞(B))[[ħ]] 上での点乗積を保存するか？
• RQ2 このようなスター積は同値関係に関してどのように分類されるか？
• RQ3 シンプレクティック形式 ω の変形と、このようなスター積の存在との関係は何か？
• RQ4 M の形式的シンプレクティズムは、このようなスター積の分類にどのように影響するか？
• RQ5 ω にどのような幾何的条件を課すと、π: M → B が変形に対してもラグランジュのままである保証が得られるか？

主な発見

• 点乗積を π∗(C∞(B))[[ħ]] で変形しないスター積の同値類の集合は、πがラグランジュのままであるような ω の変形の集合と、M 上の形式的シンプレクティズムを除くことで全単射である。
• 任意のシンプレクティック多様体 (M, ω) 上のラグランジュ被覆 π: M → B に対して、このようなスター積は存在する。
• 構成法により、M 上の完全可積分系の第一積分（B 上の関数の引き戻し）がスター積のもとでも保存される。
• これらのスター積の分類は、被覆の接続やスプリットの選択に依存せず、シンプレクティック構造とラグランジュ条件にのみ依存する。
• 標準的な変形量子化を、被覆構造を組み込み、部分代数の乗法を保存する形で一般化した結果である。
• 全単射は、被覆を保存するシンプレクティック同型を尊重する意味で、自然かつ函子的である。