[論文レビュー] Deformation quantization of submanifolds and reductions via Duflo-Kirillov-Kontsevich map

A. Chervov, Leonid Rybnikov|ArXiv.org|Sep 1, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、付加的Casimir もしくは第一級制約にDuflo-Kirillov-Kontsevich (DKK) 写像を適用することで、埋め込まれた多様体の量子化代数の商として、Poisson部分多様体または還元空間の変形量子化を得られることを提案する。主な貢献は、変形量子化と還元が可換であるという予想であり、$ S^2 $ に対して部分多様体の量子化、ハミルトニアン還元、および明示的な $ SO(3) $-不変スター積の3通りの方法で明示的に検証され、すべてが同型な結果をもたらす。

ABSTRACT

We propose the following receipt to obtain the quantization of the Poisson submanifold $N$ defined by the equations $f_i=0$ (where $f_i$ are Casimirs) from the known quantization of the manifold $M$: one should consider factor algebra of the quantized functions on $M$ by the images of $D(f_i)$, where $D: Fun(M) o Fun(M)\otimes \CC[\hbar]$ is Duflo-Kirillov-Kontsevich map. We conjecture that this algebra is isomorphic to quantization of $Fun(N)$ with Poisson structure inherited from $M$. Analogous conjecture concerning the Hamiltonian reduction saying that "deformation quantization commutes with reduction" is presented. The conjectures are checked in the case of $S^2$ which can be quantized as a submanifold, as a reduction and using recently found explicit star product. It's shown that all the constructions coincide.

研究の動機と目的

• 埋め込み多様体からのPoisson部分多様体および還元空間の量子化の体系的手続きを確立すること。
• Duflo-Kirillov-Kontsevich写像が、埋め込み空間の量子化から部分多様体およびハミルトニアン還元の量子化を標準的に行う方法を提供することを予想すること。
• $ S^2 $ という非自明な例でその予想を検証すること：$ S^2 $ は部分多様体として、ハミルトニアン還元として、および明示的なスター積として実現可能である。
• 3通りのアプローチがすべて同型な量子化代数をもたらすことを示し、変形量子化が還元と可換であるという一般原理を支持すること。

提案手法

• 古典的多様体 $ M $ からのCasimir $ f_i $ を、量子化代数内の中心的元に上げるために、写像 $ D: \text{Fun}(M) \to \widehat{\text{Fun}(M)} $ を用いる。
• 制約 $ f_i = 0 $ で定義される部分多様体 $ N \subset M $ の量子化代数を、商 $ \widehat{\text{Fun}(M)} / \langle D(f_i - c) \rangle $ として構成する。
• ハミルトニアン還元では、制約 $ f_i $ の零点集合をそれらのハミルトニアンベクトル場の作用で割った空間 $ M // f_i $ を定義する。
• 量子化還元代数を $ \widehat{\text{Fun}(M // f_i)} = \widehat{N} / \widehat{I} $ として構成する。ここで $ \widehat{I} $ は、$ \widehat{\text{Fun}(M)} $ 内の理想における正規化 $ \widehat{N} $ 内で $ D(f_i) $ によって生成される両側イデアルである。
• $ S^2 $ の量子化代数を3通りの独立した方法で計算することで、予想を検証する：$ \mathbb{R}^3 $ の部分多様体として、$ \mathbb{R}^4 $ のハミルトニアン還元として、および明示的な $ SO(3) $-不変スター積を用いて。
• 得られた代数を比較し、それらが同型であることを示し、3通りの構成が一貫していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Duflo-Kirillov-Kontsevich写像を用いて、埋め込み多様体の量子化からPoisson部分多様体の量子化を体系的に構成できるか？
• RQ2 変形量子化はハミルトニアン還元と可換であるか？ すなわち、量子化還元代数が量子化代数の還元と同型になるか？
• RQ3 本稿で提案する構成は、$ S^2 $ のような対称空間における既知の明示的スター積と整合的か？
• RQ4 制約イデアルの生成子の選び方に依存する場合、DKK写像の振る舞いはどのように変化し、結果の量子化代数はその選択に依存しないか？
• RQ5 この枠組みは、平坦接続のモジュライ空間のような無限次元Poisson多様体へ、一般化されたDKK写像を用いて拡張可能か？

主な発見

• $ S^2 $ に対して、DKK写像を用いた部分多様体の量子化で得られた量子化代数は、$ \mathbb{R}^4 $ のハミルトニアン還元から得られた代数と同型である。
• 明示的な $ SO(3) $-不変スター積を用いた $ \mathbb{R}^3 $ 上の計算により得られた量子化代数は、部分多様体および還元の構成と一致し、一貫性が確認された。
• DKK写像はCasimir $ f_i $ を $ \widehat{\text{Fun}(M)} $ 内の中心的元に写し、イデアル $ \langle D(f_i) \rangle $ が両側でよく定義され、商を取ることが可能になる。
• $ S^2 $ に対して、予想された同型 $ \widehat{\text{Fun}(M//f_i)} \cong \widehat{N}/\widehat{I} $ が成立し、一般予想に対する強い証拠が得られた。
• 構成は制約の線形再パrametrizationに対して安定であり、結果の量子化代数は制約イデアルの生成子の選び方に依存しない。
• これらの結果は、変形量子化が還元と可換であるというより広い予想を支持しており、幾何的量子化とKontsevichの形式性定理の間の深い整合性を示唆している。