[論文レビュー] Deformation Quantization of Symplectic Fibrations

Olga Kravchenko|ArXiv.org|Feb 16, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ギュイリム、レルマン、シュテルンバーグの弱結合形式を用いて、基底、繊維、全空間の変形量子化を関連させることで、シンプレクティックファイブレーションの変形量子化の枠組みを確立する。変形の特徴的類を同定し、等変接続が存在する場合に古典的ミラーマップを量子ミラーマップに量子化できることを証明する。これにより、フォドソフの方法を用いた代数のバンドルにおける量子化が進展する。

ABSTRACT

A symplectic fibration is a fibre bundle in the symplectic category. We find the relation between deformation quantization of the base and the fibre, and the total space. We use the weak coupling form of Guillemin, Lerman, Sternberg and find the characteristic class of deformation of symplectic fibration. We also prove that the classical moment map could be quantized if there exists an equivariant connection. Along the way we touch upon the general question of quantization with values in a bundle of algebras. We consider Fedosov's construction of deformation quantization in general. In the Appendix we show how to calculate step by step the Fedosov connection, flat sections of the Weyl algebra bundle corresponding to functions and their star-product.

研究の動機と目的

• 基底と繊維、全空間の量子化を関連させることで、シンプレクティックファイブレーションにおける一貫性のある変形量子化を確立すること。
• ギュイリム、レルマン、シュテルンバーグの弱結合形式を用いて、変形量子化の特徴的類を同定すること。
• 等変接続が存在する場合に、古典的ミラーマップが量子ミラーマップに持ち上げられるかどうかを調査すること。
• フォドソフの変形量子化をシンプレクティックファイブレーションおよび代数のバンドルの設定に一般化すること。
• この文脈におけるフォドソフ接続と平坦な断面を構成するための体系的な計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• ギュイリム、レルマン、シュテルンバーグの弱結合形式を用いて、ファイブレーションの全空間にシンプレクティック構造を定義する。
• 全空間にフォドソフの変形量子化法を適用し、Weyl代数バンドル上の平坦接続を構成する。
• 変形量子化の分類を表すコホモロジーにおける特徴的類を導入する。
• 等変接続を用いて、古典的ミラーマップを変形量子化の文脈で量子ミラーマップに持ち上げる。
• 多様体上の関数を超える量子化を一般化するため、代数バンドルの枠組みを用いる。
• 付録で、フォドソフ接続、平坦な断面、および星積の計算のステップバイステップのアルゴリズムを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底と繊維の観点から、シンプレクティックファイブレーションの全空間における変形量子化をどのように一貫して定義できるか？
• RQ2 シンプレクティックファイブレーションの変形量子化を分類する特徴的類は何か？
• RQ3 この文脈で、古典的ミラーマップが量子ミラーマップに量子化可能となる条件は何か？
• RQ4 フォドソフの変形量子化は、シンプレクティックファイブレーションおよび代数のバンドルの文脈にどのように拡張されるか？
• RQ5 この枠組みにおけるフォドソフ接続および星積を構成する明示的な計算手順は何か？

主な発見

• シンプレクティックファイブレーションの全空間の変形量子化は、基底と繊維の変形量子化によって決定され、弱結合形式が必要な幾何的構造を提供する。
• H^2(M; R)に属する特徴的類が同定され、これは曲率類の一般化である。
• ファイブレーションに等変接続が存在する場合に限り、古典的ミラーマップを量子ミラーマップに量子化できる。
• フォドソフの構成がシンプレクティックファイブレーションの文脈に一般化され、全空間上のWeyl代数バンドルに平坦接続が得られる。
• 付録に、フォドソフ接続、平坦な断面、および全空間上の関数の星積を計算する明示的なアルゴリズムが提供されている。
• 標準的なフォドソフ量子化を拡張し、代数バンドル値をとる一貫性のある変形量子化の枠組みが確立された。