[論文レビュー] Deformation rings and Hecke algebras in the totally real case

Kazuhiro Fujiwara|ArXiv.org|Feb 27, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 52

ひとこと要約

この論文は、完全実体における mod $\ell$ ガロア表現の普遍変形環と $\iota$-adic ヒッケ代数との間に深い関係を確立する。近似通常変形を構成し、テイラー＝ワイルズ系を用いることで、自由性および完全交差性の性質を保証する条件下で、近似通常ヒッケ代数が与えられた型の普遍変形環に同型であることを証明する。

ABSTRACT

One of the basic questions in number theory is to determine semi-simple l-adic representations of the absolute Galois group of a number field. In this paper, we discuss the question for two dimensional representations over a totally real number field.

研究の動機と目的

• 完全実体上の mod $\ell$ ガロア表現の $\iota$-adic ヒッケ代数と普遍変形環との間の対応を確立すること。
• 近似通常変形型を用いて、ウィルズのモジュラリティ上昇技法を完全実の場合に拡張すること。
• 適切な有限性および自由性条件の下で、近似通常ヒッケ代数が普遍変形環に同型であることを証明すること。
• 近似通常型の変形環が係数環上での相対的完全交差であることを確認し、幾何的制御を保証すること。
• モジュラー多様体のコホモロジーが普遍変形モジュールを実現することを示し、自動形式的対象とガロア理論的対象を結びつけること。

提案手法

• 変形条件を制御するため、ねじれた層とヒッケ代数上のモジュールを用いたテイラー＝ワイルズ系を構成する。
• 係数環 $o_{\mathscr{D}}[[\mathscr{X}^{\mathrm{loc}}_{\mathbb{n.o.}}]]$ を持つ近似通常変形型 $\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}$ を $\mathscr{D}$ の変形として導入する。
• 完全複体の議論とコホモロジー的普遍正確性を適用し、変形環上の自由モジュール $M_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ の存在を保証する。
• 中田の補題とヒッケ代数 $T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ の既約性を用いて、同型 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}} \stackrel{\sim}{\to} T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ を証明する。
• 剰余体からの基底変換を用いて、$R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ が係数環 $o_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 上の次元0の相対的完全交差であることを確立する。
• コホモロジーにおける正確な制御定理と双対性形式主義を用いて、自動形式とガロア表現を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全実体上の mod $\ell$ ガロア表現の $\iota$-adic ヒッケ代数が、その普遍変形環に同型であるのはどのような条件下か？
• RQ2 近似通常変形型 $\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}$ を用いて、普遍変形環をヒッケ代数として実現できるか？
• RQ3 ヒッケ代数 $T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ が $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ に同型であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 変形環の自由性および完全交差性の性質は、モジュラー多様体のコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 近似通常条件が、すべての変形がモジュラーであることを保証するのはどの程度か？

主な発見

• 補題の仮定の下で、近似通常ヒッケ代数 $T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ は普遍変形環 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ に同型である。
• 変形環 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ は、係数環 $o_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 上の次元0の相対的完全交差である。
• モジュール $M_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ は、$R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ 上の自由モジュールであり、$R_{\mathscr{D}}$ 上の $M_{\mathscr{D}}$ と同じランクを持つ。
• 自然な全射 $f_{\mathscr{D}}: R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}} \twoheadrightarrow R_{\mathscr{D}}$ は、増幅イデアル $I^{\mathbb{n.o.}}$ を法として同型を誘導する。
• すべての $v|\ell$ に対して $\mathrm{def}_{\mathscr{D}}(v) = \mathbb{n.o.}$ であるとき、代数 $T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ はヒダの近似通常ヒッケ代数と一致する。
• 正確な制御定理とコホモロジー的普遍単射性を用いて、同型 $R_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}} \stackrel{\sim}{\to} T_{\mathscr{D}^{\mathbb{n.o.}}}$ が確立された。