[論文レビュー] Deformation theory and finite simple quotients of triangle groups I

Michael Larsen, Alexander Lubotzky+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数群上の表現多様体を用いて、双曲的三角形群 $T_{a,b,c}$ の有限単純商の分類のための新しい変形論的アプローチを導入する。すべての双曲的三つ組 $(a,b,c)$ に対して、論文の表にリストされた有限個の例外を除き、任意の与えられた既約ディンキン型 $X$ の有限単純商が存在することを証明し、マリオンの予想を確認および拡張する。

ABSTRACT

Let $2 \leq a \leq b \leq c \in \mathbb{N}$ with $μ=1/a+1/b+1/c<1$ and let $T=T_{a,b,c}=< x,y,z: x^a=y^b=z^c=xyz=1>$ be the corresponding hyperbolic triangle group. Many papers have been dedicated to the following question: what are the finite (simple) groups which appear as quotients of $T$? (Classically, for $(a,b,c)=(2,3,7)$ and more recently also for general $(a,b,c)$.) These papers have used either explicit constructive methods or probabilistic ones. The goal of this paper is to present a new approach based on the theory of representation varieties (via deformation theory). As a corollary we essentially prove a conjecture of Marion [21] showing that various finite simple groups are not quotients of $T$, as well as positive results showing that many finite simple groups are quotients of $T$.

研究の動機と目的

• 双曲的三角形群の有限単純商を研究するための、表現多様体の変形論に基づく新しい手法を開発すること。
• マリオンが提起した、どの有限単純群が三角形群の商でないかという予想を解決すること。
• 双曲的三角形群が与えられたディンキン型の有限単純群へ全射となる条件を確立すること。
• 代数群論における幾何学的およびコホモロジー的技法を用いて、有限単純商を体系的に分類すること。

提案手法

• 方法は、$T = T_{a,b,c}$ を双曲的三角形群とし、$ \underline{G}$ を体 $\mathbb{F}$ 上の準単純代数群とする表現多様体 $\mathrm{Hom}(T, \underline{G})$ を用いる。
• 群コホモロジー $H^1(T, \mathrm{Ad} \circ \rho)$ を用いて、表現多様体のザリスキ接空間を変形論的に分析する。
• ザリスキ的に再帰的でない、かつザリスキ的に再帰的でない表現が存在すれば、そのことは、有限体上の有限単純商への飽和を示す。
• 本手法は、型 $X$ のコンパクトなリー群 $G$ への表現 $\rho_0^\mathfrak{G}$ を構成し、$\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ からの主同型を介して変形することに依存する。
• 部分代数 $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ に対して、$H^1(T, \mathfrak{g})$ と $H^1(T, \mathfrak{h})$ のコホモロジーを指数関数および床関数を用いて比較し、変形空間の非自明性を検証する。
• 主な技術的道具は定理 5.8 であり、異なる代数群におけるコホモロジー次元の関係を示し、非剛性かつザリスキ的に再帰的な表現の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの双曲的三角形群 $T_{a,b,c}$ とディンキン型 $X$ に対して、$T_{a,b,c}$ が型 $X$ の無限個の有限単純群へ全射するか？
• RQ2 与えられた双曲的三角形群 $T_{a,b,c}$ の商でない有限単純群は何か、そしてこれはコホモロジー的障害によって特定可能か？
• RQ3 表現多様体の変形論を用いて、$T_{a,b,c}$ が与えられた型の有限単純商へ飽和していることを証明できるか？
• RQ4 $H^1(T, \mathrm{Ad} \circ \rho)$ が消えるか、非自明のままである条件は何か、そしてその影響は有限商の存在にどう現れるか？
• RQ5 表 1 にリストされた例外ケースは真に例外であるのか、それともさらなる分析によって除外可能か？

主な発見

• 本稿は、すべての双曲的三角形群 $T_{a,b,c}$ とすべての既約ディンキン図 $X$ に対して、表 1 にリストされた有限個の例外を除き、型 $X$ の有限商が存在することを証明している。
• 例外ケースは有限個であることが示され、論文はこれらが今後の論文でより洗練された技術を用いて解決されると示唆している。
• 非局所的剛性で、かつザリスキ的に再帰的な表現 $\rho_3: T \to \underline{G}(\mathbb{R})$ の存在は、すべての $\ell \in \mathbb{N}$ および十分に大きな素数 $p$ に対して、$T$ が $X(q^{e\ell})$ へ全射することを示唆し、正の密度を有する。
• すべての非例外的ケースに対して、$\dim H^1(T, \mathfrak{g}) > \dim H^1(T, \mathfrak{h})$ が確立され、非自明な変形空間が保証される。
• $X = D_4$ の場合、$n_2 \neq 3$ であれば不等式 $\dim H^1(T, \mathfrak{g}) > \dim H^1(T, \mathfrak{h})$ が成り立ち、$(2,3,7)$ の場合が例外から除外される。
• $X = A_6$ の場合、$(a,b,c) \in \{(2,4,5), (2,4,6)\}$ を除けば不等式が成り立ち、これらがこの場合の唯一の潜在的例外であることが確認される。