[論文レビュー] Deformation theory and Lie algebra homology

Vladimir Hinich, Vadim Schechtman|ArXiv.org|May 25, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体 $ X $、$ G $- torsor $ P $、または対 $ (X,P) $ の普遍形式的変形環 $ R_i $ の連続的双対 $ R_i^* $ と、その接空間の高次元への一般化である、微小自己同型の層 $ \frak{A}_i $ に関連する dg Lie 環の零次 Lie 同調群との間の標準的同型を確立する。これは、Kodaira-Spencer 同型を高次変形へ一般化するものであり、Thom-Sullivan-Quillen 形式主義による dg Lie 環モデルを用いて構成され、変形空間が滑らかである場合、変形環 $ R_i $ が Lie 環同調群の言語で完全に記述可能であることを示している。

ABSTRACT

A description of a ring of functions on the base of a universal formal deformation for several moduli problems is given. The answer is given in terms of a homology group of a certain dg Lie algebra canonically (up to an essentially unique quasi-isomorphism) associated with a problem.

研究の動機と目的

• 変形空間が滑らかである場合、滑らかな多様体 $ X $、$ G $- torsor $ P $、または対 $ (X,P) $ の普遍形式的変形環 $ R_i $ を Lie 環同調群の言語で記述すること。
• 微小自己同型の層 $ \frak{A}_i $ の dg Lie 環モデルを用いて、古典的 Kodaira-Spencer 同型を高次接空間へ一般化すること。
• 変形環 $ R_i^* $ の連続的双対と零次 Lie 同調群 $ H^{\text{Lie}}_0(R\Gamma^{\text{Lie}}(X,\frak{A}_i)) $ の間の標準的同型 $ \kappa: R_i^* \xrightarrow{\sim} H^{\text{Lie}}_0(R\Gamma^{\text{Lie}}(X,\frak{A}_i)) $ を構成し、古典的変形理論枠組みを拡張すること。
• Lie 代数の twisted enveloping 代数と dg Lie 環の接続準同型を用いた、高次 Kodaira-Spencer 写像を含むホモロジー的枠組みを構築すること。

提案手法

• 一般化された Thom-Sullivan 構成を用いて、Lie 環層 $ \frak{g} $ のČech複体に quasi-isomorphic な微分付き Lie 環 $ R\Gamma^{\text{Lie}}(X,\frak{g}) $ を構成する。
• dg Lie 環 $ R\Gamma^{\text{Lie}}(X,\frak{g}) $ に Quillen 関手 $ C $ を適用し、そのホモロジーが Lie 同調群 $ H^{\text{Lie}}_i(R\Gamma^{\text{Lie}}(X,\frak{g})) $ を与えるフィルトレーション付き複体を得る。
• dg Lie 環拡大のコーンから Chevalley 複体への標準的接続準同型を定義し、高次 Kodaira-Spencer 写像の構成を可能にする。
• 滑らかな $ S $ に対して $ \cal{D}\mbox{iff}_S $ などの Lie アルベイドの twisted enveloping 代数を、高次 KS 写像の出発点として用いる。
• 変形空間の閉点における幾何的ファイバー解析と幾何的基底変換を用いて、同型 $ \kappa: R_i^* \xrightarrow{\sim} H^{\text{Lie}}_0(R\Gamma^{\text{Lie}}(X,\frak{A}_i)) $ を確立する。
• その誘導された同型が、各階数の商群上に古典的 Kodaira-Spencer 写像と符号を除き一致することを証明し、古典的変形理論と整合していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形空間が滑らかである場合、普遍形式的変形環 $ R_i $ はどのように代数的に記述可能か？
• RQ2 Lie 環同調群は、接空間を超える高次変形データをどのように符号化するか？
• RQ3 dg Lie 環モデルを用いて、古典的 Kodaira-Spencer 同型を高次項へ一般化できるか？
• RQ4 dg Lie 環の拡大と接続準同型からどのように高次 Kodaira-Spencer 写像が生じるか？
• RQ5 連続的双対 $ R_i^* $ と微小自己同型の層 $ \frak{A}_i $ の Lie 同調群との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 連続的双対 $ R_i^* $ と零次 Lie 同調群 $ H^{\text{Lie}}_0(R\Gamma^{\text{Lie}}(X,\frak{A}_i)) $ との間には、標準的同型が存在し、$ R_i $ の完全な代数的記述が得られる。
• 同型 $ \kappa: R_i^* \xrightarrow{\sim} H^{\text{Lie}}_0(R\Gamma^{\text{Lie}}(X,\frak{A}_i)) $ は Lie 同調群のフィルトレーションと整合し、各階数の商群上に同型を誘導する。
• その誘導された同型 $ \operatorname{gr}^n(R_i) \cong S^n(H^1(X,\frak{A}_i)) $ は $ (-1)^n \kappa^1 $ と一致し、古典的 Kodaira-Spencer 写像が再現される。
• 構成はアフィン被覆の選び方に依存せず、Thom-Sullivan-Quillen 形式主義により、 quasi-isomorphism に依存しない標準的対象を定義する。
• この結果は、$ X $、$ (X,P) $、および $ X $ を固定した $ P $ の変形問題のすべてに、$ H^0(X,\frak{A}_i) = 0 $ の仮定のもとで成立する。
• 証明は $ \mathfrak{S}_i $ の滑らかさに依存しており、これにより $ R_i \cong k[[T_1,\dots,T_n]] $ が得られ、高次 KS 写像 $ \kappa $ が閉点における幾何的ファイバーへの制限で同型となる。