[論文レビュー] Deformations and stability in complex hyperbolic geometry

Boris N. Apanasov|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、局所的にベルグマン計量を持つ非コンパクトな複素双曲的多様体の変形および安定性を調査し、$PU(n,1)$ への離散的表現に注目する。ゴールドマン＝ミルソン＝ユエの剛性結果にもかかわらず、特にシュタイン空間であるような多様体のクラスが非自明な準フクス型変形を許容することを特定し、一部の多様体は擬等角的に安定であり、他の一部はホメオモルフィズムを介して安定化される。これにより、幾何学的性質と複素解析的性質の間の構造的関係が明らかになる。

ABSTRACT

This paper concerns with deformations of noncompact complex hyperbolic manifolds (with locally Bergman metric), varieties of discrete representations of their fundamental groups into $PU(n,1)$ and the problem of (quasiconformal) stability of deformations of such groups and manifolds in the sense of L.Bers and D.Sullivan. Despite Goldman-Millson-Yue rigidity results for such complex manifolds of infinite volume, we present different classes of such manifolds that allow non-trivial (quasi-Fuchsian) deformations and point out that such flexible manifolds have a common feature being Stein spaces. While deformations of complex surfaces from our first class are induced by quasiconformal homeomorphisms, non-rigid complex surfaces (homotopy equivalent to their complex analytic submanifolds) from another class are quasiconformally unstable, but nevertheless their deformations are induced by homeomorphisms.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな複素双曲的多様体（無限体積）における非自明な変形の存在と性質を調査すること。
• 擬等角的および位相的同値の下でのそのような変形の安定性を分析すること。
• 剛性定理（例：ゴールドマン＝ミルソン＝ユエ）と、柔軟な幾何的構造の存在との間の顕在的な矛盾を解明すること。
• 特にシュタイン空間構造を含む、幾何学的および複素解析的条件が非剛性の変形を可能にする仕組みを同定すること。
• ホメオモルフィズムおよび擬等角写像が、複素双曲的構造の変形をどのように誘導するかを明確化すること。

提案手法

• 複素双曲的多様体の基本群の $PU(n,1)$ への離散的表現を分析し、複素双曲空間の等長群を対象とする。
• 変形空間の表現の性質を調べるために、複素幾何および幾何解析の技法を適用する。
• 2つの多様体クラスを区別する：擬等角的に安定な変形を許容するものと、不安定ではあるが依然として変形可能な構造を持つもの。
• 柔軟性を統一的に説明する要因として、シュタイン空間構造を用いる。これにより、複素解析的構造と幾何的柔軟性の間の関係を結ぶ。
• 擬等角写像が複素曲面における変形を誘導する役割を検討し、非剛性だが変形可能な状況ではホメオモルフィズムの役割を分析する。
• 特に局所的ベルグマン計量および全純構造の文脈において、微分幾何学および複素変数関数論の基礎的結果に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような幾何学的または複素解析的条件下で、非コンパクトな複素双曲的多様体が剛性定理にもかかわらず非自明な変形を許容するか？
• RQ2 複素双曲的構造における擬等角的に安定な変形と不安定な変形の違いは何か？
• RQ3 シュタイン空間構造は、複素双曲幾何における柔軟な変形の存在とどのように関係するか？
• RQ4 非コンパクトな複素双曲的多様体において、変形はどの程度まで擬等角写像によって、一般のホメオモルフィズムによって誘導可能か？
• RQ5 基本群の $PU(n,1)$ への離散的表現が、対応する多様体の安定性および柔軟性を決定づける役割を果たすのはどのような点か？

主な発見

• シュタイン空間である非コンパクトな複素双曲的多様体は、非自明な準フクス型変形を許容するが、これは剛性定理の予想に反する。
• 最初のクラスに属する複素曲面の変形は、擬等角ホメオモルフィズムによって誘導され、擬等角的安定性を示している。
• 非剛性の複素曲面は、その複素解析的部分多様体とホモトピー同値であるが、擬等角的には不安定であるが、ホメオモルフィズムを介して依然として変形可能である。
• 異なるクラスにわたるこの柔軟性を可能にする共通の特徴は、多様体自体のシュタイン空間構造にある。
• これらの結果は、特にシュタイン性という複素解析的性質が、複素双曲幾何における幾何的柔軟性を決定づける重要な役割を果たすことを示唆する。
• 本稿は、複素幾何（シュタイン空間）と $PU(n,1)$-作用による複素双曲的多様体の変形論との間の構造的関係を確立する。