[論文レビュー] Deformations of algebraic subvarieties

Donatella Iacono|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2010

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、代数的に閉じた特徴量0の体上の滑らかな多様体 $X$ の閉部分スキーム $Z$ の無限小変形を制御するDGLAを、半コサイクリカルおよび微分付き階数Lie代数（DGLA）の技法を用いて明示的に記述する。論文は、対数接ベクトル層 $Θ_X(-\log Z)$ のČech分解から、全トム＝ホイットニーDGLA $Ττ_{TW}^{\blacktriangle}(\chi^{\blacktriangle})$ を構成し、$Z$ が滑らかであるとき、その変形函手がヒルベルト函手 $Ττ_X^Z$ に同型であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we use (bi)semicosimplicial language to study the classical problem of infinitesimal deformations of a closed subscheme in a fixed smooth variety, defined over an algebraically closed field of characteristic 0. In particular, we give an explicit description of the differential graded Lie algebra controlling this problem.

研究の動機と目的

• 特徴量0の代数的に閉じた体上の任意の体に一般化して、M. マネッティによる複素部分スキーム変形のDGLA記述を拡張すること。
• 半コサイクリカル的手法を用いて、函手的かつ代数的な方法で変形函手 $\operatorname{Hilb}_X^Z$ を記述すること。
• トム＝ホイットニー全化を用いて、閉部分スキーム $Z \subset X$ の無限小変形を制御する微分付き階数Lie代数を構成すること。
• $Z$ が滑らかであるとき、$\operatorname{Def}_{\operatorname{Tot}_{TW}^{\blacktriangle}(\chi^{\blacktriangle})} \cong \operatorname{Hilb}_X^Z$ の同型を確立し、$\mathbb{C}$ 上での先行結果を一般化すること。

提案手法

• 多様体 $X$ の開被覆 $\mathcal{U} = \{U_i\}$ および $Z$ の開被覆 $\mathcal{V} = \{U_i \cap Z\}$ を用いて、$Z$ の局所的変形を半コサイクリカル対象でモデル化する。
• Sheaf $\Theta_X(-\log Z)$ から、$\chi_k^{\blacktriangle} = \prod_{i_0 < \cdots < i_k} \Theta_X(-\log Z)(U_{i_0 \cdots i_k})$ と定義される半コサイクリカルDGLA $\chi^{\blacktriangle}$ を構成する。
• 半コサイクリカルDGLA $\chi^{\blacktriangle}$ にトム＝ホイットニー全化関手を適用し、単一のDGLA $\operatorname{Tot}_{TW}^{\blacktriangle}(\chi^{\blacktriangle})$ を得る。
• 対数座標を用いて、自己同型 $\theta_{ij} = e^{d_{ij}}$ および $\alpha_i = e^{a_i}$ を表現し、貼り合わせデータをMaurer-Cartan方程式に翻訳する。
• Maurer-Cartan方程式の明示的解とゲージ同値性を用いて、変形函手 $\operatorname{Def}_{\operatorname{Tot}_{TW}^{\blacktriangle}(\chi^{\blacktriangle})}$ をヒルベルト函手 $\operatorname{Hilb}_X^Z$ に同定する。
• 特徴量0における指数関数および対数関数の使用により、局所的に自明な変形と全化DGLA内の解との明示的対応を確立し、同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的に閉じた特徴量0の体上の滑らかな多様体 $X$ の閉部分スキーム $Z$ の無限小変形を制御する微分付き階数Lie代数は何か？
• RQ2 半コサイクリカル言語を用いて、$X$ 内の $Z$ の局所的変形データからDGLAをどのように構成できるか？
• RQ3 $Z$ が滑らかであるとき、DGLA $\operatorname{Tot}_{TW}^{\blacktriangle}(\chi^{\blacktriangle})$ はヒルベルト函手 $\operatorname{Hilb}_X^Z$ に同型か？
• RQ4 このDGLAアプローチを用いて、$\mathbb{C}$ 上で知られているマネッティの古典的結果を、任意の代数的に閉じた特徴量0の体に一般化できるか？
• RQ5 対数接ベクトル層 $\Theta_X(-\log Z)$ は、$X$ 内の $Z$ の変形データをどのように符号化するか？

主な発見

• 滑らかな多様体 $X$ 内の閉部分スキーム $Z$ の無限小変形の変形函手 $\operatorname{Hilb}_X^Z$ は、$\Theta_X(-\log Z)$ から構成された半コサイクリカルDGLA $\chi^{\blacktriangle}$ のトム＝ホイットニー全化DGLA $\operatorname{Tot}_{TW}^{\blacktriangle}(\chi^{\blacktriangle})$ に関連する変形函手 $\operatorname{Def}_{\operatorname{Tot}_{TW}^{\blacktriangle}(\chi^{\blacktriangle})}$ に同型である。
• $Z$ が滑らかであるとき、同型 $\operatorname{Def}_{\operatorname{Tot}_{TW}^{\blacktriangle}(\chi^{\blacktriangle})} \cong \operatorname{Hilb}_X^Z$ が成り立ち、$\mathbb{C}$ 上でのマネッティの結果が任意の代数的に閉じた特徴量0の体に一般化される。
• 局所的に自明な $Z$ の変形は、$e^{-a_i}e^{a_j} \in \exp(\Theta_X(-\log Z)(U_{ij}) \otimes \mathfrak{m}_A)$ を満たすMaurer-Cartan要素 $a = \{a_i\} \in \prod_i \Theta_X(U_i) \otimes \mathfrak{m}_A$ によってパラメトライズされる。
• 変形の同型は、$e^{a_i} = e^{a'_i}e^{b_i}$ を満たす要素 $b = \{b_i\} \in \prod_i \Theta_X(-\log Z)(U_i) \otimes \mathfrak{m}_A$ によるゲージ変換に対応する。
• この構成は、特徴量0における対数座標の存在に依存しており、自己同型を線形化するために指数関数および対数関数の使用を可能にする。
• この結果により、対数接ベクトル層から導かれる半コサイクリカルDGLAのトム＝ホイットニー全化を通じて、ヒルベルト函手が標準的なDGLAによって制御されることを確立する。