[論文レビュー] Deformations of Batalin-Vilkovisky algebras

Olga Kravchenko|ArXiv.org|Mar 31, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、BV作用素が2階微分作用素であるという要件を緩和することで、Batalin–Vilkovisky (BV) 代数を一般化し、高階微分作用素（2階以上）が基礎となる可換な次数付き代数上に L∞-代数構造を誘導することを示している。主な貢献は、『ホモトピー的 BV 代数』と呼ばれる BV 代数のホモトピー版の定義と、Kontsevich の形式的定理を BV∞ 水準に拡張する予想であり、Calabi–Yau多様体上での多微分作用素と多ベクトル場の間の quasi-isomorphism が BV∞-代数として成り立つことを示唆している。

ABSTRACT

We show that a graded commutative algebra A with any square zero odd differential operator is a natural generalization of a Batalin-Vilkovisky algebra. While such an operator of order 2 defines a Gerstenhaber (Lie) algebra structure on A, an operator of an order higher than 2 (Koszul-Akman definition) leads to the structure of a strongly homotopy Lie algebra (L$_\infty$-algebra) on A. This allows us to give a definition of a Batalin-Vilkovisky algebra up to homotopy. We also make a conjecture which is a generalization of the formality theorem of Kontsevich to the Batalin-Vilkovisky algebra level.

研究の動機と目的

• Batalin–Vilkovisky 代数の概念を、BV 作用素が2より大きい次数のものに許容することで一般化すること。
• このような高階作用素が、基礎となる可換な次数付き代数上に強くホモトピー的な Lie 代数（L∞-代数）構造を誘導することを示すこと。
• 古典的 BV 構造を高階ホモトピーに拡張することで、『ホモトピー的 BV 代数』と呼ばれる BV 代数のホモトピー版を定義すること。
• Kontsevich の形式的定理を BV∞ 水準に拡張する予想を提示することにより、第一チャーン類がゼロである多様体上の多微分作用素と多ベクトル場の間の関係を明らかにすること。
• この一般化が、特に頂点作用素代数やFrobenius多様体の文脈における変形理論に与える影響を検討すること。

提案手法

• k 階微分作用素の Akman–Koszul 定義を用い、$ F_D^{k+1} $ を ≤k 階であるという性質の破綻を示す障害として定義する。
• D が2より大きい次数の微分作用素であり、$ D^2 = 0 $ を満たすならば、$ F_D^2 $ が可換な次数付き代数上に可換な Lie ブラケットを定め、高階の $ F_D^k $ が $ L_\bullet $-代数の関係を満たすことを示す。
• 高階 BV 作用素が誘導するホモトピー構造を特徴づけるために、$ L_\bullet $-代数（強くホモトピー的な Lie 代数）の枠組みを適用する。
• BV 作用素のコホホロジー上に Gerstenhaber 代数構造を構成し、古典的 BV 構造がこのホモトピー的枠組みの特別な場合であることを示す。
• Calabi–Yau 多様体上での多微分作用素の代数と多ベクトル場の代数の間の、BV∞-代数としての quasi-isomorphism を予想する。
• 既知の Kontsevich の形式的定理（Gerstenhaber 代数のホモトピー的バージョン）を用い、提案された予想により BV∞ 水準に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 Batalin–Vilkovisky 代数構造は、高階微分作用素を許容することで一般化可能か？
• RQ2 可換な次数付き代数に、2より大きい次数の平方ゼロ微分作用素が備わっているとき、どのような代数的構造が生じるか？
• RQ3 古典的 BV 代数を一般化する自然な『ホモトピー的 BV 代数』の概念は存在するか？
• RQ4 Kontsevich の形式的定理は、BV∞ 水準に拡張可能か、すなわち多微分作用素の代数と多ベクトル場の代数が BV∞-代数として quasi-isomorphic か？
• RQ5 このような BV∞ 形式的予想が、Maurer–Cartan 方程式の解のモジュライ空間および Frobenius 多様体構造に与える影響は何か？

主な発見

• 2より大きい次数の微分作用素 $ D $ で $ D^2 = 0 $ を満たすものがあるとき、基礎となる可換な次数付き代数上に $ L_\bullet $-代数（強くホモトピー的な Lie 代数）構造が誘導される。
• 古典的 BV 代数は $ D $ が正確に2次である場合に生じる特別なケースであり、高階作用素はこれをホモトピー的構造に一般化する。
• D のコホホロジー上の Lie ブラケットは $ F_D^2 $ で与えられ、高階のブラケット $ F_D^k $ は $ L_\bullet $-代数の関係を満たす。
• 本稿では、任意の次数の平方ゼロ微分作用素を備えた可換な次数付き代数として、『ホモトピー的 BV 代数』を定義し、古典的 BV 構造を一般化する。
• 予想では、Calabi–Yau 多様体上での多微分作用素の代数と多ベクトル場の代数が、BV∞-代数として quasi-isomorphic であると述べている。
• 真であれば、この予想により、多微分作用素上の Maurer–Cartan 方程式の解が多ベクトル場上の解に写されることが保証され、モジュライ空間上の Frobenius 多様体構造が保存されることを示唆する。