[論文レビュー] Deformations of canonical pairs and Fano varieties

Tommaso de Fernex, Christopher D. Hacon|ArXiv.org|Jan 4, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、最小モデルプログラムの技法を用いて、対の付帯分岐被覆に対して新しい拡張定理を確立し、単体的トーリックファノ多様体が終等特異点をもつ場合、変形のもとで剛性であることを示している。これは、滑らかにできないことと、モーリー・チャネル分解が保存されることを意味する。主な結果は、このような多様体が家族の中での中心ファイバーと同型のままであることを示しており、変形が局所的に自明であることを示唆している。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of various aspects of deformations of log pairs, especially in connection to questions related to the invariance of singularities and log plurigenera. In particular, using recent results from the minimal model program, we obtain an extension theorem for adjoint divisors in the spirit of Siu and Kawamata and more recent works of Hacon and McKernan. Our main motivation however comes from the study of deformations of Fano varieties. Our first application regards the behavior of Mori chamber decompositions in families of Fano varieties: we prove that, in the case of mild singularities, such decomposition is rigid under deformation when the dimension is small. We then turn to analyze deformation properties of toric Fano varieties, and prove that every simplicial toric Fano variety with at most terminal singularities is rigid under deformations (and in particular is not smoothable, if singular).

研究の動機と目的

• 対の特異点および対の正則倍多様体の変形不変性を研究すること、特にファノ多様体に関連して。
• 安定基底集合条件の代わりに正性条件を用いて、正則倍多様体形式の拡張定理を対の正則な対に一般化すること。
• 滑らかさのよい特異点をもつファノ多様体族におけるモーリー・チャネル分解の剛性を調査すること。
• 単体的トーリックファノ多様体が終等特異点をもつ場合、変形のもとで剛性であることを証明し、特異点がある場合には滑らかにできないことを示すこと。
• 終等特異点をもつファノ多様体の全座標環が家族の中で平坦に変形されることを確立すること。

提案手法

• 最近の最小モデルプログラムの結果を用いて、対上のウェイル除釣に対して、技術的な安定基底集合条件の代わりに正性仮定を用いた新しい拡張定理を証明する。
• 証明は、定理4.1に依拠しており、これはファミリー上の相対的最小モデルプログラムの各ステップ（フラップまたは除釣的収縮）が、ファイバー上でも同じステップを誘導することを示している。
• 著者たちは、拡張定理をファミリーのファノ多様体に適用し、基底上での −K_X の相対的アンプリチュードを用いて、全切断上の制限写像の全射性を保証する。
• 固定されたアンプリック除釣 H を用いて Z-次数を定義することで、ファイバー上のラインバンドルの全切断から生成される次数付き環 R_t を構成する。
• H⁰(X, O_X(A)) → H⁰(X_t, O_X_t(A)) の制限写像が全射であることを示すことで、全座標環 R_t が R_0 の平坦な変形であることを証明する。
• これにより、無限に多くの t に対して R_t と R_0 の同型を構成し、射影的モデルにおいて X_t ≅ X_0 を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が小さく、特異点が穏やかい（例えば終等）場合、ファノ多様体のモーリー・チャネル分解は変形のもとで剛性を示すか？
• RQ2 境界除釣 D をもつ状況下で、正性条件を仮定することで、正則倍多様体形式の拡張定理をウェイル除釣に一般化できるか？（安定基底集合仮定の代わりに）。
• RQ3 単体的トーリックファノ多様体が終等特異点をもつ場合、変形のもとで剛性を示すか？もしそうであれば、これは滑らかにできないことを示唆するか？
• RQ4 終等特異点をもつファノ多様体の全座標環は、変形の家族の中で平坦に変形されるか？
• RQ5 ファノ多様体の射影的モデルは、全座標環の同型を介して変形のもとで保存されるか？

主な発見

• 拡張定理（定理1.1）は、ネロン＝セベール空間上の正性および全射性条件のもとで、制限写像 H⁰(X, O_X(L)) → H⁰(X₀, O_X₀(L|X₀)) の全射性を確立する。
• 終等特異点をもつ単体的トーリックファノ多様体では、変形が局所的に自明である：無限に多くの t に対して X_t ≅ X_0 であり、剛性が証明される。
• 次元が小さく、特異点が穏やかな場合、このようなファノ多様体のモーリー・チャネル分解は変形のもとで剛性を示す。
• 近傍ファイバーの全座標環 R_t は、無限に多くの t に対して R_0 と同型であり、変形が次数付き環の圏において自明であることを示している。
• 証明は、−K_X の相対的アンプリチュードと拡張定理のおかげで、全切断上の制限写像が全射であることが示され、変形が環構造を保存することを保証する。
• 非単体的トーリックファノ多様体が終等特異点をもつ場合には、バチレフの反例およびファノ曲面の退化によって、この結果は成り立たない。