[論文レビュー] Deformations of chiral algebras

Dimitri Tamarkin|ArXiv.org|Apr 15, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、pro-*-Lie代数を用いてchiral代数の変形理論を展開し、変形複体のコホモロジーがc-Gerstenhaber代数構造を備えていることを確立している—これはGerstenhaber代数のchiral版に相当する。主な結果は、chiral代数SKの変形とcoisson括弧の間の形式的同型予想であり、これはpro-*-Lie代数の完全な擬等長写像を通じて、変形とcoisson構造の間の1対1対応を示唆している。

ABSTRACT

We start studying chiral algebras (as defined by A. Beilinson and V. Drinfeld) from the point of view of deformation theory. First, we define the notion of deformation of a chiral algebra on a smooth curve $X$ over a bundle of local artinian commutative algebras on $X$ equipped with a flat connection (whereas `usual' algebraic structures are deformed over a local artinian algebra) and we show that such deformations are controlled by a certain *-Lie algebra $\mathfrak g$. Then we try to contemplate a possible additional structure on $\mathfrak g$ and we conjecture that this structure up to homotopy is a chiral analogue of Gerstenhaber algebra, i.e. a coisson algebra with odd coisson bracket (in the terminology of Beilinson-Drinfeld). Finally, we discuss possible applications of this structure to the problem of quantization of coisson algebras.

研究の動機と目的

• 標準的Lie代数の代わりにpro-*-Lie代数を用いて、chiral代数の変形理論を拡張すること。
• 変形複体のコホモロジーにchiral代数のGerstenhaber代数構造の類似を定義すること。
• chiral代数の変形とcoisson括弧を結ぶ形式的同型予想を提示すること。
• chiral代数の文脈におけるcoisson代数の量子化のためのコホモロジー的枠組みを提供すること。
• Kontsevichの形式的同型定理を、滑らかな曲線上のD-加群の設定に一般化すること。

提案手法

• nilpotent ${\rm D}_X$-代数に倣う平坦接続を持つchiral代数$M$の変形を定義する。
• $M$-変形を制御する変形複体として、pro-*-Lie代数${\bf def}_M$を導入する。
• $H_M[-1]$にchiral作用$[\cdot,\cdot]$を用いて*-Lie括弧を構成し、コホモロジー上にカップ積$\cup_h$を定義する。
• 括弧とカップ積を結ぶLeibniz恒等式$f = e + e^T$を用いて、c-Gerstenhaber代数構造を定義する。
• $P_*$上のオペラッド構造と$!$-テンソル積を用いて、chiral作用およびその合成を定義する。
• 形式的同型予想を提示する：$\mathbf{def}_{SK}$と$H_{SK}$は完全な擬等長写像をもち、これによりcoisson括弧と変形の間の双対性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 pro-*-Lie代数を用いて、標準的Lie代数の代わりにchiral代数の変形理論をどのように定式化できるか。
• RQ2 chiral代数の変形複体のコホモロジーにどのような構造が現れるか。
• RQ3 chiral作用と関連して、Gerstenhaber代数構造のchiral版を定義できるか。また、その関係は何か。
• RQ4 Kontsevichの形式的同型定理に類似した予想が、SKの変形とcoisson括弧の間で成り立つか。
• RQ5 $\mathbf{def}_{SK}$と$H_{SK}$の間に完全な擬等長写像が存在する場合、coisson括弧とchiral代数の変形の間の1対1対応が成立するか。

主な発見

• chiral代数の変形pro-*-Lie代数のコホモロジーは、自然にc-Gerstenhaber代数構造を備えている。
• $H_M[-1]$上のカップ積$\cup_h$は結合的かつ可換であり、$(H_M)^l[-1]$は${\cal D}_X$-可換代数である。
• chiral括弧とカップ積はLeibniz恒等式$f = e + e^T$を満たす。ここで$f$は括弧、$e$はカップ積と括弧の合成である。
• $M = (SK)^r$の場合、$H_M$上のカップ積は対称代数$S(K^\lor[-1] \oplus K)$の自然な積と一致する。
• $G = (K^\lor[-1] \oplus K)^r$上の*-Lie括弧は、$K \boxtimes K^\lor[-1]$上でのみ非ゼロであり、ここでは標準的ペアリング$K^\lor \otimes K \to \omega_X$によって与えられる。
• 形式的同型予想は、$\mathbf{def}_{SK}$と$H_{SK}$が完全な擬等長写像をもつとし、これが真であれば、$SK \otimes A$上の$A$-線形coisson括弧（$\mathfrak{m}_A$を法として消える）の同型類と、$A$上での$SK$の変形の同型類との間の双対性が導かれる。