[論文レビュー] Deformations of Coisotropic Submanifolds in Abstract Jacobi Manifolds

Hông Vân Lê, Yong‐Geun Oh+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非自明な線分バンドル上の1次多重微分法とアティヤ代数ダルの組み合わせにより、抽象的ジャコビ多様体内の任意のコイゾトロピック部分多様体に対して $L_\infty$-代数を構成する。この構成は、シンプレクティック、ポワンスィ、局所的コンフォーマルシンプレクティック幾何における既知の $L_\infty$-代数を一般化し、接触多様体を含む統一的な枠組みを提供する。これは、コイゾトロピック部分多様体（特にレジェンドリアン部分多様体を含む）の形式的変形理論を支配する。

ABSTRACT

In this paper, using the Atiyah algebroid and first order multi-differential calculus on non-trivial line bundles, we attach an $L_\infty$-algebra to any coisotropic submanifold $S$ in an abstract (or Kirillov's) Jacobi manifold. Our construction generalizes and unifies analogous constructions in symplectic, Poisson case, and locally conformal symplectic geometry. As a new special case, we attach an $L_\infty$-algebra to any coisotropic submanifold in a contact manifold, including Legendrian submanifolds. The $L_\infty$-algebra of a coisotropic submanifold $S$ governs the (formal) deformation problem of $S$.

研究の動機と目的

• シンプレクティック幾何およびポワンスィ幾何におけるコイゾトロピック部分多様体の既存の $L_\infty$-代数の構成を、抽象的ジャコビ多様体のより広い設定に一般化すること。
• シンプレクティック、ポワンスィ、局所的コンフォーマルシンプレクティック幾何における変形理論的枠組みを、1つの代数的構造に統一すること。
• 接触多様体への理論の拡張を図り、特にレジェンドリアン部分多様体を含むコイゾトロピック部分多様体の $L_\infty$-代数を構成すること。
• 非自明な線分バンドル上の幾何的データから導かれる $L_\infty$-代数を用いて、コイゾトロピック部分多様体の形式的変形理論を提供すること。

提案手法

• コイゾトロピック部分多様体上の非自明な線分バンドルに関連するアティヤ代数ダルを用い、幾何的および無限小的対称性を符号化する。
• 線分バンドル上の1次多重微分法を適用し、$L_\infty$-代数の高次括弧を構成する。
• 周囲多様体のジャコビ構造と部分多様体に誘導される構造を用いて、$L_\infty$-代数構造を定義する。
• アティヤ代数ダルとジャコビ括弧の整合性を活用することで、$L_\infty$-代数が一般化されたジャコビ恒等式を満たすことを保証する。
• コイゾトロピック変形のモジュライ空間を支配する形式的変形複体として、$L_\infty$-代数を構成する。
• この構成がシンプレクティックおよびポワンスィ幾何の既知のケースに還元されることを示し、一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的ジャコビ多様体内のコイゾトロピック部分多様体の変形問題を、どのように代数的に形式化できるか？
• RQ2 キリロフのジャコビ多様体の設定において、シンプレクティックおよびポワンスィ幾何における $L_\infty$-代数の構成を適切に一般化する方法は何か？
• RQ3 理論を接触多様体、特にレジェンドリアン部分多様体を含む状況に拡張できるか？
• RQ4 非自明な線分バンドルのアティヤ代数ダルは、コイゾトロピック部分多様体上の $L_\infty$-代数構造にどのように寄与するか？
• RQ5 1次多重微分法は、$L_\infty$-代数の高次ホモトピー関係をどのように符号化するか？

主な発見

• 非自明な線分バンドル上の1次多重微分法とアティヤ代数ダルを用いて、抽象的ジャコビ多様体内の任意のコイゾトロピック部分多様体に対して $L_\infty$-代数を構成した。
• この構成は、シンプレクティック、ポワンスィ、局所的コンフォーマルシンプレクティック幾何における既存の $L_\infty$-代数モデルを一般化・統一する。
• $L_\infty$-代数は、コイゾトロピック部分多様体の形式的変形問題を支配し、そのモジュライ空間のホモトピー的枠組みを提供する。
• この枠組みは接触多様体にも適用可能であり、コイゾトロピック部分多様体（特にレジェンドリアン部分多様体を含む）の $L_\infty$-代数をもたらす。
• 得られた $L_\infty$-代数構造は、既知の古典的幾何に一致しており、還元によって構成の妥当性が検証された。
• 非自明な線分バンドルとその関連する微分法の使用により、局所モデルを超えたグローバル幾何的データを捉えることが保証された。