[論文レビュー] Deformations of Fuchsian equations and logarithmic connections

Szilárd Szabó|ArXiv.org|Mar 8, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Fuchs方程式における付加的パラメータの数——固定された局所モノドロミーをもつ変形空間の次元——が、関連する局所系のモジュライ空間の次元の半分に等しいことを幾何学的に証明する。対数接続の無限小変形に作用する重み1のホッジ構造を用い、Fuchs変形をその(1,0)-部分として特定し、Hitchin写像がこれらの変形上でエタール的かつ単射であることを確認するとともに、Ohtsukiの予想——半単純モノドロミーをもつFuchs方程式における顕在的特異点の最大数——を証明し、接続のモジュライ空間にラグランジュ的foliationを構成する。

ABSTRACT

We give a geometric proof to the classical fact that the dimension of the deformations of a given generic Fuchsian equation without changing the semi-simple conjugacy class of its local monodromies (``number of accessory parameters'') is equal to half the dimension of the moduli space of deformations of the associated local system. We do this by constructing a weight 1 Hodge structure on the infinitesimal deformations of logarithmic connections, such that deformations as an equation correspond to the $(1,0)$-part. This answers a question of Nicholas Katz, who noticed the dimension doubling mentioned above. We then show that the Hitchin map restricted to deformations of the Fuchsian equation is a one-to-one etale map. Finally, we give a positive answer to a conjecture of Ohtsuki about the maximal number of apparent singularities for a Fuchsian equation with given semisimple monodromy, and define a Lagrangian foliation of the moduli space of connections whose leaves consist of logarithmic connections that can be realised as Fuchsian equations having apparent singularities in a prescribed finite set.

研究の動機と目的

• Fuchs方程式における付加的パラメータの数が、関連する局所系のモジュライ空間の次元の半分に等しい理由を幾何学的に説明すること。
• Nicholas Katzが提起した、Fuchs方程式の変形における次元の二重化現象に関する疑問を解消すること。
• 半単純モノドロミーをもつFuchs方程式における顕在的特異点の最大数に関するOhtsukiの予想を証明すること。
• 顕在的特異点が固定されたFuchs方程式に対応する葉を持つ、対数接続のモジュライ空間へのラグランジュ的foliationを構成すること。
• Hitchin写像がFuchs方程式の変形空間に制限されたとき、それが単射エタール写像であることを示すこと。

提案手法

• 対数接続の無限小変形空間に重み1ホッジ構造を構成すること。
• Fuchs方程式の変形をこのホッジ構造の(1,0)-部分として特定すること。
• 微分作用素の修正同伴行列形を用いて、P¹上の正則ベクトル束上に対数接続を定義すること。
• Fuchs方程式の解と対数接続の平行切断との間の全単射対応を確立すること。
• 次元数え上げと連続性の議論により、顕在的特異点と実特異点からの条件の独立性を証明すること。
• ゲージ変換と極の振る舞いの解析により、Hitchin写像がFuchs方程式の変形空間上でエタール的かつ単射であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fuchs方程式における付加的パラメータの数が、関連する局所系のモジュライ空間の次元の半分に等しいのはなぜか？
• RQ2 Fuchs方程式の変形に制限されたHitchin写像はエタール的かつ単射的か？
• RQ3 与えられた半単純モノドロミーをもつFuchs方程式において、顕在的特異点が最大でいくつまで可能か？
• RQ4 対数接続のモジュライ空間は、固定された顕在的特異点を持つFuchs方程式に対応するラグランジュ的葉にfoliate可能か？
• RQ5 2つのN重組 (a₁,…,a_N) が、接続のモジュライ空間内に同じ部分多様体を定めるのはどのような条件下か？

主な発見

• 固定された半単純モノドロミーをもつFuchs方程式の変形空間の次元は、その関連する局所系のモジュライ空間の次元のちょうど半分に等しい。
• 顕在的特異点からの独立な条件の数は Nm(m+1)/2 であり、これらは実特異点からの (n+1)m−1 個の条件と独立である。
• 指定された顕在的特異点 a₁,…,a_N をもつFuchs方程式の空間 E_{a₁,…,a_N} の次元は 1−m²+m(m−1)(n+1)/2 であり、期待される値 e と一致する。
• Fuchs方程式の変形空間に制限したHitchin写像は、単射エタール写像である。
• e 個の顕在的特異点をもつFuchs方程式に対応する部分多様体 M_{a₁,…,a_e} は、モジュライ空間 M のラグランジュ的部分多様体である。
• 顕在的特異点の集合は、正則ゲージ変換に関して不変であり、したがってHodge分解の(1,0)-部分に関して保存される。