[論文レビュー] Deformations of Gabor Frames

Gerald Kaiser|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2001

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、調和振動子ハミルトニアンのユニタリ群を初期のガボールフレームに適用することで生成される、1パラメータ族のガボールフレーム（変形と呼ばれる）を導入する。この方法はフレーム境界を保ち、時間的・周波数的コンパクトサポートを持たないウィンドウをもつ新しいフレームを生成し、標準的な時間制限型とフーリエ変換制限型のガボールフレームの間を滑らかに補間する。フーリエ変換はπ/2の回転に対応する。

ABSTRACT

The quantum mechanical harmonic oscillator Hamiltonian generates a one-parameter unitary group W(θ) in L^2(R) which rotates the time-frequency plane. In particular, W(π/2) is the Fourier transform. When W(θ) is applied to any frame of Gabor wavelets, the result is another such frame with identical frame bounds. Thus each Gabor frame gives rise to a one-parameter family of frames, which we call a deformation of the original. For example, beginning with the usual tight frame F of Gabor wavelets generated by a compactly supported window g(t) and parameterized by a regular lattice in the time-frequency plane, one obtains a family of frames F_θgenerated by the non-compactly supported windows g_θ=W(theta)g, parameterized by rotated versions of the original lattice. This gives a method for constructing tight frames of Gabor wavelets for which neither the window nor its Fourier transform have compact support. When θ=π/2, we obtain the well-known Gabor frame generated by a window with compactly supported Fourier transform. The family F_θtherefore interpolates these two familiar examples.

研究の動機と目的

• 既存のガボールフレームから新しいガボールフレームを体系的に生成する方法を開発し、フレーム境界を保つこと。
• コンパクトサポートを持たないウィンドウをもつタイトまたは正規直交ガボールフレームを構成し、バリアン＝ロウの定理による制限を克服すること。
• 時間制限型と周波数制限型のウィンドウをもつガボールフレームの間の連続的補間を提供すること。
• コンパクトサポートをもたないウィンドウへのフレーム構成の一般化を図ること。これはバリアン＝ロウの定理の下では失敗する。

提案手法

• 調和振動子ハミルトニアン $ H = \frac{1}{2}(Q^2 + P^2) $ によって生成されるユニタリ群 $ W(\theta) = e^{i\theta H} $ を用いてガボールフレームを変形する。
• 生成ウィンドウ $ g $ に $ W(\theta) $ を適用し、新たなウィンドウ $ g^\theta = W(\theta)g $ を得る。$ \theta \notin \pi\mathbb{Z} $ のとき、これはコンパクトサポートを持たない。
• 時間周波数格子を $ (\omega, s) \mapsto (\omega(\theta), s(\theta)) $ として回転させ、時間周波数平面における回転に対応させる。
• ワイル＝ヘイゼンベルグ群の構造とメーラーの公式を用いて、$ g^\theta $ の明示的形を $ g $ を含む積分変換として導出する。
• ユニタリ性により $ W(\theta) $ がフレーム $ \mathcal{F}_\theta $ が元のフレーム $ \mathcal{F} $ と同じフレーム境界 $ A, B $ を持つことを確立する。
• $ \mathcal{F}_\theta $ がすべての $ \theta \in [0, 2\pi) $ に対して有効なフレームであることを示し、$ \mathcal{F}_{2\pi} \approx \mathcal{F}_0 $ であるため、周期性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つのフレームからフレーム境界を保ちながら連続的なガボールフレーム族を生成できるか？
• RQ2 時間的・周波数的コンパクトサポートを持たないウィンドウをもつタイトなガボールフレームを構成できるか？
• RQ3 調和振動子によって生成されるユニタリ時間発展の下で、ガボールフレームの時間周波数構造はどのように変化するか？
• RQ4 $ \theta = \pi/2 $ における元のガボールフレームとその変形との関係は何か？これはフーリエ変換に対応する。

主な発見

• 変形 $ \mathcal{F}_\theta $ は元のフレーム $ \mathcal{F} $ のフレーム境界 $ A $ と $ B $ を保ち、安定性および再構成性が維持されることを示す。
• $ \theta = \pi/2 $ のとき、変形ウィンドウ $ g^{\pi/2} $ は $ g $ のフーリエ変換に比例するため、$ \mathcal{F}_{\pi/2} $ は周波数制限型ウィンドウをもつ標準的なガボールフレームである。
• $ \theta = n\pi $ のとき、ウィンドウ $ g^{n\pi} $ は $ g $ の時間反転および位相シフト版であり、時間的コンパクトサポートを保つ。
• $ \theta \notin \pi\mathbb{Z} $ のとき、$ g^\theta $ は時間的・周波数的両方でコンパクトサポートを持たない。これは $ g $ が時間的コンパクトサポートを持つ場合でも同様である。
• 族 $ \{\mathcal{F}_\theta\} $ は、時間制限型と周波数制限型のウィンドウをもつガボールフレームの間を連続的に補間する。
• フレーム $ \mathcal{F}_\theta $ がタイトであるための必要十分条件は、元のフレーム $ \mathcal{F} $ がタイトであることである。変形によってこの性質が保たれる。