[論文レビュー] Deformations of gerbes on smooth manifolds

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky+2 more|ArXiv.org|Jan 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体上の2-群歪みの2-群歪みと、滑らかな関数のホッホシュילדコホホロジーから構成されたねじれ付き微分複体リー代数（DGLA）のデリーニュ2-群歪みの間の正確な対応を確立する。主な結果は、構造層のねじれ付き形の変形理論が、2-群歪みのコホモロジー類によるDGLAのねじれによって特定されることを示し、微分幾何的構造を用いたゲルベの変形の制御を可能にする。

ABSTRACT

We identify the 2-groupoid of deformations of a gerbe on a smooth manifold with the Deligne 2-groupoid of a corresponding twist of the DGLA of local Hochschild cochains on infinite jets of smooth functions.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上のゲルベの形式的変形の微分幾何的分類を、DGLA技法を用いて行う。
• アレブロイドスタックの変形とねじれ付きDGLAのデリーニュ2-群歪みとの間の2-群歪み同値を確立する。
• 滑らかな関数のジェット層と、ゲルベのコホモロジー類によるねじれ付きのDGLAを構成する。
• ねじれ付き形 $\mathcal{O}_X$ の変形ファンクターが、特定のDGLAねじれのデリーニュ2-群歪みと同値であることを示す。

提案手法

• 滑らかな関数のジェット層 $\mathcal{J}_X$ のシフトされたホッホシュILD コホホロジーのde Rham複体のDGLA $\mathfrak{g}_{\mathtt{DR}}(\mathcal{J}_X)_{[\mathcal{S}]}$ を、コホモロジー類 $[\mathcal{S}] \in H^2(X; \mathcal{O}_X^\times)$ によるねじれとして構成する。
• ジェット層 $\mathcal{J}_X$ に備わる標準的平坦接続 $\nabla^{\text{can}}$ を用いて、ホッホシュILD複体に平坦接続を誘導し、ゲルステンハーバー括弧と微分を保存する。
• 閉じた2形式 $\omega \in \Gamma(X; (\Omega^2 \otimes \mathcal{J}_X / \mathcal{O}_X)^{\text{cl}})$ を用いてねじれを定義し、DGLAの微分を収縮 $\iota_\omega$ で修正する。
• 変形ファンクターをモデル化するために、ねじれ付きDGLAにデリーニュ2-群歪みの構成 $\operatorname{MC}^2(\mathfrak{g})$ を適用する。
• 降下理論と変形ファンクターの同値性（細分および引き戻しの下で）を用いて、変形2-群歪み $\operatorname{Def}_X(\mathcal{S})$ と $\operatorname{MC}^2(\mathfrak{g}_{\mathtt{DR}}(\mathcal{J}_X)_{[\mathcal{S}]})$ の同値性を確立する。
• ねじれ付きDGLAの同型類が、形式 $\omega$ のコホモロジー類にのみ依存することを用いて、構成のwell-defined性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体上のゲルベの変形理論は、微分幾何的設定においてどのようにDGLAによって制御できるか？
• RQ2 ねじれ付き形 $\mathcal{O}_X$ の変形を分類する正確なDGLAは何か？
• RQ3 ゲルベのコホモロジー類は、その変形を制御するDGLAのねじれとどのように関係するか？
• RQ4 アレブロイドスタックの変形2-群歪みは、適切にねじれたDGLAのデリーニュ2-群歪みと同値か？
• RQ5 ゲルベの変形ファンクターは、滑らかな関数のジェット層のホッホシュILD コホホロジーで記述可能か？

主な発見

• ねじれ付き形 $\mathcal{S}$ の変形2-群歪み $\operatorname{Def}_X(\mathcal{S})$ は、デリーニュ2-群歪み $\operatorname{MC}^2(\mathfrak{g}_{\mathtt{DR}}(\mathcal{J}_X)_{[\mathcal{S}]})$ と同値である。
• DGLA $\mathfrak{g}_{\mathtt{DR}}(\mathcal{J}_X)_{[\mathcal{S}]}$ は、ジェット層 $\mathcal{J}_X$ のシフトされたホッホシュILD複体のde Rham複体の全体切断のDGLAのねじれとして構成される。
• ねじれは $\Gamma(X; (\Omega^2 \otimes \mathcal{J}_X / \mathcal{O}_X)^{\text{cl}})$ 内の閉じた2形式により定義され、DGLAの同型類はこの形式のコホモロジー類にのみ依存する。
• この構成は、ゲルベの変形理論の微分幾何的実現を提供し、ホッホシュILDコホホロジーと導来代数的構造とを結びつける。
• 同値性は降下理論と、細分および引き戻しの下での変形ファンクターの同値性を用いて確立され、全射性と本質的全射性が示される。
• 本結果は、[5]の先行結果を一般化し、抽象的コホモロジー分類を、具体的な変形理論的モデルに置き換える幾何的DGLA制御機構を提供する。