[論文レビュー] Deformations of $\mathcal W$ algebras via quantum toroidal algebras

Boris Feigin, M. Jimbo+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子トロイダル $τ}_1$ 代数 $τ}$ を用いて、すべての古典的型（A, B, C, D）における変形 $χ}$ 代数の均一な構成を提供する。超対称およびねじれた場合を含む。同定された $τ}$ 上の余代数的代数 $τ}$ を導入し、変形 $χ}$ 保存電流およびスクリーニング作用素を生成する。また、ベーテのアンザッツを用いて、$τ}^{(2)}_{π+1}$ を除くすべての非例外的型に対して、可換な運動量積分族の存在を証明する。

ABSTRACT

The deformed $\mathcal W$ algebras of type $ extsf{A}$ have a uniform description in terms of the quantum toroidal $\mathfrak{gl}_1$ algebra $\mathcal E$. We introduce a comodule algebra $\mathcal K$ over $\mathcal E$ which gives a uniform construction of basic deformed $\mathcal W$ currents and screening operators in types $ extsf{B}, extsf{C}, extsf{D}$ including twisted and supersymmetric cases. We show that a completion of algebra $\mathcal K$ contains three commutative subalgebras. In particular, it allows us to obtain a commutative family of integrals of motion associated with affine Dynkin diagrams of all non-exceptional types except $ extsf{D}^{(2)}_{\ell+1}$. We also obtain in a uniform way deformed finite and affine Cartan matrices in all classical types together with a number of new examples, and discuss the corresponding screening operators.

研究の動機と目的

• すべての古典的型（A, B, C, D）における変形 $χ}$ 代数の均一な代数的枠組みを提供すること。
• 量子トロイダル代数を用いて、既知の $q$-変形 $χ}$ 代数の型 A から他の古典的型への一般化を行うこと。
• 量子トロイダル $τ}_1$ 代数 $τ}$ 上の余代数的代数 $τ}$ を構成し、型 B, C, D（超対称およびねじれた場合を含む）における変形 $χ}$ 保存電流およびスクリーニング作用素を均一に生成すること。
• $τ}$ に付随する可換な運動量積分族を、アフィン・ディンキン図に従ってベーテのアンザッツを用いて構成すること。ただし $τ}^{(2)}_{π+1}$ を除くすべての非例外的型に対して有効である。

提案手法

• 構成は、変形 $χ}$ 代数の普遍的な代数的枠組みとして、量子トロイダル $τ}_1$ 代数 $τ}$ を用いる。
• 変形 $χ}$ 保存電流 $A_i(z)$ は、生成電流 $e(z)$ が任意の色を持つフォック加群のテンソル積に作用する際の、$π+1$ 個の頂点作用素の和から生じる、隣接する頂点作用素の比として定義される。
• 型 B, C, D（超対称およびねじれた場合を含む）における変形 $χ}$ 保存電流およびスクリーニング作用素を体系的に生成するため、$τ}$ 上の余代数的代数 $τ}$ が導入される。
• 変形カルタン行列（有限およびアフィン型）は、$A_i(z)$ 電流の縮約構造から導出され、さまざまな配置に対する明示的な行列形式が提示される。
• 複数の積分にフェイジン＝オデスキー核を用いることで、$\boldsymbol{e}(z) = e(z)\tilde{Z}_\mu(z)$ として与えられる「ドレスアップ電流」を用いて運動量積分を構成する。
• スペクトルはベーテのアンザッツを用いて計算され、構成は $τ}^{(2)}_{π+1}$ を除くすべての古典的型で一貫していることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての古典的型（A, B, C, D）における変形 $χ}$ 代数を、量子トロイダル代数を用いてどのように均一に構成できるか。
• RQ2 量子トロイダル $τ}_1$ 代数 $τ}$ 上の余代数的代数 $τ}$ が、変形 $χ}$ 保存電流およびスクリーニング作用素の生成に果たす役割は何か。
• RQ3 この枠組みを用いて、すべての非例外的アフィン・ディンキン型に対して可換な運動量積分族を構成できるか。
• RQ4 有限型およびアフィン型の変形カルタン行列は、$τ}$ 及びそのフォック加群の代数的構造からどのように導かれるか。
• RQ5 ドレスアップ電流 $\boldsymbol{e}(z)$ の $qq$-キャラクター解釈は、量子アフィン $τ}_{π+1}$ とどのように関係しているか。

主な発見

• 量子トロイダル $τ}_1$ 代数 $τ}$ 上の余代数的代数 $τ}$ は、3つの可換部分代数を含み、型 B, C, D（超対称およびねじれた場合を含む）における変形 $χ}$ 保存電流およびスクリーニング作用素の均一な構成を可能にする。
• $τ}^{(2)}_{π+1}$ を除くすべての非例外的アフィン・ディンキン型に対して、可換な運動量積分族が構成され、スペクトルはベーテのアンザッツを用いて計算される。
• すべての古典的型における変形有限およびアフィンカルタン行列が明示的に導出され、色や型のさまざまな配置に対する具体的な行列形式が提示される。
• 電流 $e(z)$ に頂点作用素 $\tilde{Z}_\mu(z)$ を乗じて得られるドレスアップ電流 $\boldsymbol{e}(z)$ は、量子アフィン $τ}_{π+1}$ の第一基本表現の $qq$-キャラクターをもたらし、この構成が既知の可積分系と関連している。
• パラメータ $s_1, s_2, s_3$ の置換やデータの順序の反転により、新しい変形カルタン行列の例を生成可能であり、最大の有限型部分行列の重ね合わせにより安定な行列が得られる。
• この方法により、型 A からの $q$-変形 $χ}$ 代数の一般化が、保存電流、スクリーニング作用素、カルタン行列の明示的公式を伴って成功裏に拡張される。