[論文レビュー] Deformations of reducible representations of knot groups into $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$

Michael Heusener, Ouardia Medjerab|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、結び目群の $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ への可解的で、可約な表現の変形を研究し、$\lambda^2$ がアレクサンドリア多項式の単純根であり、$2 \leq k \leq n-1$ に対して $\Delta_K(\lambda^{2k}) \neq 0$ であるとき、関連する表現 $\rho_{\lambda,n}^z = r_n \circ \rho_\lambda^z$ が $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-表現多様体の滑らかな点であり、次元 $(n+2)(n-1)$ の一意な成分に属し、非可約な変形を含むことを示している。

ABSTRACT

Let $K$ be a knot in $S^3$ and $X$ its complement. We study deformations of non-abelian, metabelian, reducible representations of the knot group $π\_1(X)$ into $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ which are associated to a simple root of the Alexander polynomial. We prove that certain of these metabelian reducible representations are smooth points of the $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-representation variety and that they have irreducible deformations.

研究の動機と目的

• 結び目群の $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ への可解的で可約な表現の変形理論を調査すること。
• このような表現が $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-表現多様体の滑らかな点であるための条件を特定すること。
• これらの表現に非可約な変形が存在することを確立すること。
• $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$ の $n$ 次元非可約表現を用いて、$\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$ から $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ への一般化を図ること。

提案手法

• 可解的表現を $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$ から $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ に、$n$ 次元非可約有理表現 $r_n: \mathrm{SL}(2,\mathbf{C}) \to \mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ を用いて持ち上げること。
• $\rho_{\lambda,n}^z$ における接空間の次元を特定するため、$H^1(\Gamma_K; \mathfrak{sl}(n,\mathbf{C})_{\rho_{\lambda,n}^z})$ のコホロジーを分析すること。
• 滑らかさを確認するためのコホモロジー的基準を適用すること。
• 生成子の固有空間のグラスマン多様体パラメトライゼーションを用いて、$R_6(\Gamma_{3_1})$ に $42$ 次元の成分を構成すること。
• シュールの補題を用いて、結び目群の中心の像が $\mathrm{SL}(6,\mathbf{C})$ 内のスカラー行列に制限されることを示すこと。
• コンピュータ支援計算を用いて、$\dim H^1(\Gamma_{3_1}; \mathfrak{sl}(6)_{\rho_{\lambda,6}^z}) = 42$ を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可約な可解的表現 $\rho_{\lambda,n}^z$ が $R(\Gamma_K, \mathrm{SL}(n,\mathbf{C}))$ 内で滑らかな点であるための条件は何か？
• RQ2 このような表現が非可約な変形を許容するのはいつか？
• RQ3 表現多様体に含まれる $\rho_{\lambda,n}^z$ を含む非可約成分の次元は何か？
• RQ4 アレクサンドリア多項式の $\lambda^2$ が単純根であるという条件が、高ランクにおける変形理論に与える影響は何か？
• RQ5 表現 $\rho_{\lambda,n}^z$ を含む成分を明示的に構成し、非可約表現を含むことを示せるか？

主な発見

• $\lambda^2$ がアレクサンドリア多項式の単純根であり、$2 \leq k \leq n-1$ に対して $\Delta_K(\lambda^{2k}) \neq 0$ であるとき、表現 $\rho_{\lambda,n}^z$ は $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-表現多様体の滑らかな点である。
• $\rho_{\lambda,n}^z$ は次元 $(n+2)(n-1)$ の一意な成分 $R_{\lambda,n}$ に属する。
• 三つ葉結び $3_1$ に対して、表現多様体 $R_6(\Gamma_{3_1})$ は $\rho_{\lambda,6}^z$ を含み、一般の非可約表現を含む $42$ 次元の成分 $C$ を含む。
• 第一コホモロジー群 $H^1(\Gamma_{3_1}; \mathfrak{sl}(6)_{\rho_{\lambda,6}^z})$ の次元は正確に $42$ であり、$\rho_{\lambda,6}^z$ の滑らかさを確認している。
• 成分 $C$ の構成は、$\mathrm{Gr}(3,6)$ と $\mathrm{Gr}(2,6)$ の一般な固有空間の選択に依存し、$42$ 次元の表現族を生成する。
• $\rho_{\lambda,6}^z$ は対角表現に共役ではなく、その軌道は対角表現 $\rho_{\lambda,6}$ の軌道の閉包に属する。