[論文レビュー] Deformations of trianguline B-pairs and Zariski density of two dimensional crystalline representations

Kentaro Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、Q_p 上の先行研究を一般化し、任意の p-進体 K 上で2次元のp-進族を構成する。B-対と連続コホモロジーを用いてp-進ホッジ理論と変形理論を統一し、任意の数体上の固有値多様体におけるp-進ホッジ理論の基盤を築く。

ABSTRACT

The aim of this article is to study deformation theory of trianguline B-pairs for any p-adic field. For benign B-pairs, a special good class of trianguline B-pairs, we prove a main theorem concerning tangent spaces of these deformation spaces. These are generalizations of Bellaiche-Chenevier's and Chenevier's works in the Q_p case, where they used (ϕ,Γ)-modules over the Robba ring instead of using B-pairs. As an application of this theory, in the final chapter, we prove a theorem concerning Zariski density of two dimensional crystalline representations for any p-adic field, which is a generalization of Colmez and Kisin's results in the Q_p case.

研究の動機と目的

• Bellaïche-Chenevier や Chenevier の三角的表現の変形理論を Q_p から任意のp-進体 K に拡張すること。
• Kisin の X_fs 理論を一般化し、任意の K 上で2次元の三角的表現の有限勾配部分空間とp-進族を構成すること。
• 任意のp-進体 K 上で、2次元クリスタルリン表現の集合が三角的変形空間においてZariski稠密であることを証明し、Colmez と Kisin の Q_p 上の結果を一般化すること。
• B-対に対する連続コホモロジー理論を確立し、Liu のコホモロジーと同型であることを示し、双対性とカップ積構造を可能にすること。
• 特に p が完全に分解しない場合を含め、一般の数体上の固有値多様体におけるp-進ホッジ理論の基盤的道具を構築すること。

提案手法

• p-進ガロア表現の枠組みとして、Robba環上の (φ,Γ)-モジュールに代わって、Berger が導入した B-対を用いる。
• Artin 局所環上の三角的 B-対の変形理論を発展させ、Q_p の場合を任意のp-進体 K に一般化する。
• B-対コホモロジーを用いて Kisin の方法を一般化し、任意のp-進体 K に対して有限勾配部分空間 X_fs^tri を構成する。
• E-B-対値の連続コホモロジー複体を導入し、ガロア作用と整合するカップ積構造を備える。
• B-対コホモロジーに対して Tate の双対性と Euler-Poincaré 公式を証明し、完全双対性と有限性を確立する。
• B-対の連続コホモロジーと Liu のコホモロジーとの間に同型が存在することを示し、p-進ホッジ理論における既知の結果と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 B-対を (φ,Γ)-モジュールの代わりに用いることで、三角的表現の変形理論を Q_p から任意のp-進体 K に拡張できるか。
• RQ2 任意のp-進体 K 上で、Kisin の構成を一般化した2次元三角的表現のp-進族が存在するか。
• RQ3 任意のp-進体 K 上で、すべての三角的表現の空間における2次元クリスタルリン表現の集合がZariski稠密であるか。
• RQ4 B-対の連続コホモロジーは Liu のコホモロジーとどのように関係するか。また、双対定理を支えることができるか。
• RQ5 任意のp-進体 K に対して、有限勾配部分空間 X_fs^tri を構成でき、p-進族をパラメトライズするか。

主な発見

• 本稿は、任意のp-進体 K に対して2次元三角的表現のp-進族を構成し、Kisin の Q_p 上の結果を一般化した。
• 任意のp-進体 K に対して、2次元クリスタルリン表現の集合が三角的変形空間においてZariski稠密であることを証明し、Colmez と Kisin の Q_p 上の結果を一般化した。
• B-対の連続コホモロジーが Liu のコホモロジーと同型であることが示され、B-対のコホモロジー枠組みの妥当性が裏付けられた。
• B-対コホモロジーに対して Tate の双対性が成り立つ：i = 0,1,2 に対して、カップ積写像 H^i(G_K, W) × H^{2-i}(G_K, W^∨(χ_p)) → Q_p は完全である。
• B-対に対して Euler-Poincaré 公式が確立され、有限性と双対性との整合性が保証された。
• 有限勾配部分空間 X_fs^tri の構成が任意のp-進体 K に一般化され、三角的表現のp-進族のパラメトライズが可能になった。