[論文レビュー] Deformations via Simplicial Deformation Complexes

J. P. Pridham|ArXiv.org|Nov 11, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、特徴量がゼロでない場合に適応可能な、特徴量ゼロと同等の枠組みを提供するが、微分的グレード付きリー代数（DGLAs）の代替として単体的変形複体（SDCs）を導入する。主な貢献は、特徴量ゼロにおいてSDCsとDGLAsの間の準同型写像を確立し、モノイダルおよびコモノイダル随伴を介したより自然な構成を可能にすることである。

ABSTRACT

There has long been a philosophy that every deformation problem in characteristic zero should be governed by a differential graded Lie algebra (DGLA). In this paper, the theory of Simplicial Deformation Complexes (SDCs) is developed, as an alternative to DGLAs. These work in all characteristics, and for many problems can be constructed canonically. In particular, SDCs are constructed for the problems of deforming an arbitrary scheme, of deforming a Hopf algebra, and of deforming a representation of the fundamental group. In characteristic zero, SDCs and DGLAs are equivalent.

研究の動機と目的

• 特徴量正の状況におけるDGLAsの限界と、代数的幾何学における非標準的構成を解消すること。
• 単体的技法を用いて、変形問題のより自然で標準的な枠組みを提供すること。
• 特にスキームとホップ代数に対して、モノイダルおよびコモノイダル構造を統一すること。
• 特徴量ゼロにおけるSDCsとDGLAsの間の同値性を確立することにより、新規枠組みの妥当性を裏付けること。
• 純粋にモノイダルまたはコモノイダルな設定を超えて、スキーム、層、および群スキームのための既存のDGLA構成を一般化すること。

提案手法

• ゴドメの分解を用いて、モノイダル随伴からSDCを構成し、層およびコ代数の変形を可能にする。
• 同じ手法をコモノイダル随伴に適用し、局所系やその他のコホモロジー的構造のSDCを導出する。
• モノイダルおよびコモノイダル随伴を組み合わせることで、代数的構造がモノイダルで、層構造がコモノイダルであるスキームの変形をモデル化する。
• DGLA $ L $ からコシンプレックス $ D^nL $ を定義し、アレクサンダー＝ホイットニーのカップ積を介したリーブラケットと正規化された微分を備える。
• 正規化複体 $ ar{N}^* $ を用いてSDCsとDGLAsを関連付け、$ E^* $ と $ ilde{rak{e}}(rak{L}(E))^* $ の間の準同型写像を確立する。
• クイレンの単体的およびDG対象に関する結果を応用し、特徴量ゼロにおいてSDCsとDGLAsが準同型的同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DGLAの構成が恣意的であるのを避ける、特徴量に依存しない標準的枠組みを構築できるか？
• RQ2 モノイダルおよびコモノイダル随伴をどのように組み合わせて、スキームのような幾何的対象の変形をモデル化できるか？
• RQ3 特徴量ゼロにおけるSDCsとDGLAsの正確な関係は何か？
• RQ4 解析的手法に依存せずに、局所系や群スキームの変形をSDCsが自然に記述できるか？
• RQ5 オペラッド、代数、ホップ代数のような代数的構造から、SDCsを体系的に構築する方法はあるか？

主な発見

• 任意のモノイダル随伴からSDCを標準的に構成でき、これはオペラッドを介した従来のDGLA構成を一般化する。
• この構成はコモノイダル随伴へも拡張可能であり、任意の位相空間上の局所系のSDCを可能にする。
• スキームに対しては、SDCの構成がモノイダルな代数的構造とコモノイダルな層構造を統合し、従来のDGLA手法よりも広い条件下で有効である。
• 任意のSDC $ E^* $ とSDC $ ilde{rak{e}}(rak{L}(E))^* $ の間に準同型写像が確立され、それらのホモトピー同値性が証明される。
• 特徴量ゼロでは、SDCとDGLAの枠組みは準同型的同値である：$ L^ullet \to \frak{L}(\tilde{\frak{e}}(L))^{\bullet} $ はDGLAsの間の準同型写像である。
• 変形関手 $ \frak{Def}_E $ と $ \frak{Def}_{\frak{L}(E)} $ は同値であり、SDCsが特徴量ゼロにおいてDGLAsと同一の変形理論を記述することを確認する。