[論文レビュー] Deformed Bialgebra of Diffeomorphisms

Marija Dimitrijević Ćirić, Julius Wess|ArXiv.org|Nov 24, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、$\theta$-空間上の微分同相群の変形bialgebraを、$\psi$-積形式論を用いて可換幾何から非可換幾何へベクトル場の代数を上げることで提案する。微分同相群の代数は元のリー代数と同型のまま保たれるが、余乗法が変形され、非可換空間上でのスカラー場、ベクトル場、テンソル場の整合的な微分計算および変換則が可能になる。主な貢献は、余作用が変形された一般化された微分同相群代数であり、非可換重力理論への道筋を提供する。

ABSTRACT

The algebra of diffeomorphisms derived from general coordinate transformations on commuting coordinates is represented by differential operators on noncommutative spaces. The algebra remains unchanged, the comultiplication however is deformed, that way we have found a deformed bialgebra of diffeomorphisms. Scalar, vector and tensor fields are defined with appropriate transformation laws under the deformed algebra and a differential calculus is developed. For pedagogical reasons the formalism is developed for the $θ$-deformed space as it is the best known example of deformed spaces.

研究の動機と目的

• 非可換座標を持つ$\theta$-空間を含む非可換空間上で整合的な微分計算を構築すること。標準的な微分同相群対称性は非可換座標のため定義されない。
• 一般座標変換を可換から非可換設定へ再定式化すること。微分同相群を$\psi$-積形式論による高階微分作用素として表現すること。
• 微分同相群の代数はそのままであるが、余乗法が変形された変形bialgebra構造を構築すること。これにより、$\psi$-積と整合性を保ち、coassociativityを維持する。
• 非可換空間上でのスカラー場、ベクトル場、テンソル場を、変形された微分同相群代数における適切な変換則とともに定義すること。
• 非可換時空間への微分幾何学の一般化を通じて、非可換重力理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 非可換代数$[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$から導かれる、$\theta$-変形空間における$\psi$-積（Moyal-Weyl積）に基づく形式論。
• 非可換空間上の微分作用素は、代数的構造を保存する可逆同型を介して、可換変数上の高階微分作用素として実現される。
• 可換空間上のベクトル場は、非可換空間上での高階微分作用素に写像され、同じリー代数を形成する。これにより、微分同相群の代数が保存される。
• 余乗法は$\Delta(X_\xi) = X_\xi \otimes 1 + 1 \otimes X_\xi - \frac{i}{2}\theta^{\mu\nu}\left((\partial_\mu X_\xi) \otimes \partial_\nu + \partial_\mu \otimes \partial_\nu X_\xi\right)$により変形され、代数を保ちながら作用を変形する。
• スカラー場、ベクトル場、テンソル場は、$\psi$-積形式論に引き上げられた変換則を介して定義され、$\delta_\xi \phi = -X_\xi \star \phi$およびテンソル場の類似式が成り立つ。
• 場の変換則は、$\psi$-積による微分作用素の実現を用いて、可換幾何からの標準的変換則を引き上げることで導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換座標$[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$を持つ非可換空間上で、一般座標変換をどのように一貫して定義できるか？
• RQ2 微分同相群の代数を非可換空間で保存しつつ、余乗法を変形することでbialgebra構造を維持できるか？
• RQ3 スカラー場、ベクトル場、テンソル場を$\theta$-変形空間上で、適切な変換則とともに一貫して定義できるか？
• RQ4 $\psi$-積形式論における微分同相群生成子の変形余乗法の形は何か？
• RQ5 非可換空間上で、標準的微分幾何学を一般化する整合的な微分計算を構築できるか？

主な発見

• 非可換$\theta$-空間へ高階微分作用素による$\psi$-積形式論を用いて写像することで、微分同相群の代数はリー代数として保存される。
• 余乗法は$\Delta(X_\xi) = X_\xi \otimes 1 + 1 \otimes X_\xi - \frac{i}{2}\theta^{\mu\nu}\left((\partial_\mu X_\xi) \otimes \partial_\nu + \partial_\mu \otimes \partial_\nu X_\xi\right)$に変形され、$\psi$-積とcoassociativityの両方に整合する。
• スカラー場は$\delta_\xi \phi = -X_\xi \star \phi$に従い変換する。ここで$X_\xi = \xi^\mu \partial_\mu - \frac{i}{2}\theta^{\rho\sigma}(\partial_\rho \xi^\mu)\partial_\sigma \partial_\mu + \cdots$であり、$\theta$の1次までで標準的変換則を保存する。
• 共変および反変ベクトル場は、$\delta_\xi V_\mu = -X_\xi \star V_\mu - X_\mu^{\ \rho} \star V_\rho$および$\delta_\xi V^\mu = -X_\xi \star V^\mu + X^\mu_{\ \rho} \star V^\rho$により$\psi$-積形式論に持ち上げられる。$X_\mu^{\ \rho}$は$\partial_\mu \xi^\rho$から計算される。
• 微分作用素$X_\xi$は$\theta$の1次までで$X_\xi \star \phi = \xi^\mu \partial_\mu \phi$を満たし、可換極限と整合的であることが保証される。
• 変形bialgebra構造により、微分同相群がすべてのテンソル場に一貫して作用可能となり、非可換微分幾何学の発展および非可換重力理論への道筋が開かれる。