[論文レビュー] Deforming complete Hermitian metrics with unbounded curvature

Albert Chau, Ka-Fai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、初期計量の曲率が有界でない非コンパクト複素多様体上におけるKähler-Ricci流れの短時間存在および長時間存在を確立する。初期計量を一様に等価な滑らかで有界曲率を持つ完全Kähler計量の列で近似することで、流れが t > 0 で滑らかに進み、有界曲率を保ち、t = 0 に連続的に拡張されることを証明する。

ABSTRACT

We produce solutions to the Kähler-Ricci flow emerging from complete initial metrics $g_0$ which are $C^0$ Hermitian limits of Kähler metrics. Of particular interest is when $g_0$ is Kähler with unbounded curvature. We provide such solutions for a wide class of $U(n)$-invariant Kähler metrics $g_0$ on $n$ dimensional complex Euclidean space, many of which having unbounded curvature. As a special case we have the following Corollary: The Kähler-Ricci flow has a smooth short time solution starting from any smooth complete $U(n)$-invariant Käbler metric on $\C^n$ with either non-negative or non-positive holomorphic bisectional curvature, and the solution exists for all time in the case of non-positive curvature.

研究の動機と目的

• 初期計量の曲率が有界でない完全な非コンパクトKähler多様体上におけるKähler-Ricci流れの短時間存在を確立すること。
• 高次元における曲率が有界でない場合のRicci流れの既存結果をKähler-Ricci流れに拡張すること。
• 初期計量の曲率が有界でない場合でも、流れが完全性を保ち、t > 0 で有界曲率を生じるような条件を提供すること。
• 特に、非正または非負の正則バイセクショナル曲率を持つ、C^n 上のU(n)-不変Kähler計量に対して、流れの挙動を分析すること。
• 特に正則バイセクショナル曲率を含め、曲率の上界に基づいて流れの存在時間 T の明示的下界を導出すること。

提案手法

• 初期の完全なヘルミート計量 $g_0$ を、コンパクト集合上で一様収束する滑らかで有界曲率を持つ完全Kähler計量の列 $\{h_{k,0}\}$ で近似する。
• 有界曲率を持つ完全Kähler計量 $\hat{g}$ に対して、一様等価性 $C^{-1}\hat{g} \leq h_{k,0} \leq C\hat{g}$ を用いて、幾何を制御し、体積および自己同型半径の均一な下界を保証する。
• 放物型Monge-Ampère方程式の技法を用いて、$M \times (0,T)$ 上でのKähler-Ricci流れを解き、$t > 0$ での滑らかさおよび有界曲率を保証する。
• 近似列の滑らかな収束のもとで、解が $M \times [0,T)$ に連続的に拡張され、$g(0) = g_0$ を満たすことを確立する。
• 体積比較および測地線球の被覆議論を用いて、単位測地線球の体積に対する均一な下界を証明し、$t > 0$ での有界幾何を保証する。
• 既知のCaoのシガー・ソリトンおよび体積成長に関する結果を活用し、$g$ を既知の有界曲率および体積成長を示す計量と比較することで、自己同型半径および体積の均一な下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト複素多様体上に、曲率が有界でない完全Kähler計量から出発するKähler-Ricci流れは解けるか？
• RQ2 初期計量の曲率が有界でない場合に、Kähler-Ricci流れが完全性を保ち、$t > 0$ で有界曲率を生じる条件は何か？
• RQ3 特に正則バイセクショナル曲率を含め、曲率の上界に基づいて、流れの存在時間 $T$ はどのように評価できるか？
• RQ4 特に非正または非負の正則バイセクショナル曲率を持つ、$\mathbb{C}^n$ 上のU(n)-不変Kähler計量に対して、流れはどのように振る舞うか？
• RQ5 有界曲率を持つ完全Kähler計量 $\hat{g}$ を、$|u|$ および $|\nabla u|_{g_0}$ が部分線形成長を示す補正関数 $u$ で摂動した場合、流れはどのように開始できるか？

主な発見

• 初期計量 $g_0$ が一様に等価な滑らかで有界曲率を持つ完全Kähler計量の列の $C^0$ 限界である限り、$M \times (0,T)$ 上で滑らかで完全な解が存在し、$t > 0$ で有界曲率を保ち、$M \times [0,T)$ に連続的に拡張され、$g(0) = g_0$ を満たす。
• C^n 上の曲率が有界でないU(n)-不変Kähler計量に対して、正則バイセクショナル曲率が非正であれば、流れはすべての時間にわたり存在する。
• 初期計量 $g_0$ の正則バイセクショナル曲率が $K > 0$ で上界を持つ場合、流れは少なくとも $[0, 1/(2nK))$ で存在する。
• 存在時間 $T$ は正則バイセクショナル曲率の上界に基づいて下から評価可能であり、$K \leq 0$ の場合 $T = \infty$ となる。
• 任意の滑らかで完全な $\mathbb{C}^n$ 上の $U(n)$-不変Kähler計量で、正則バイセクショナル曲率が非負または非負である場合、流れは存在し、非正の場合には大域的（グローバル）に存在する。
• 有界曲率を持つ完全Kähler計量 $\hat{g}$ を、$|u|$ および $|\nabla u|_{g_0}$ が部分線形成長を示す補正関数 $u$ で摂動した場合、$t > 0$ で有界曲率を保ち、ある $T > 0$ に対して $[0,T)$ 上で流れが存在する。