[論文レビュー] Deforming symplectomorphisms of complex projective spaces by the mean curvature flow

Ivana Medoš, Mu‐Tao Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ の同一型微分同相写像に、その引き戻し計量にピンチング条件を課したもとで平均曲率フローを適用する。任意の $\Lambda$-ピンチド同一型微分同相写像が、フローによって正則等長写像へシンプレクティック同倫的であることを証明し、$n \geq 1$ に対して同一型微分同相群がその等長写像部分群に滑らかに変形再びする（smooth deformation retract）ことを確立する。この結果は、リーマン面に関する先行研究を一般化し、シンプレクティック位相幾何学における新しい幾何的アプローチを提供する。

ABSTRACT

We apply the mean curvature flow to deform symplectomorphisms of $\mathbb{CP}^n$. In particular, we prove that, for each dimension n, there exists a constant $Λ$, explicitly computable, such that any $Λ$-pinched symplectomorphism of $\mathbb{CP}^n$ is symplectically isotopic to a biholomorphic isometry.

研究の動機と目的

• 幾何的フローを用いて $\mathbb{CP}^n$ の同一型微分同相群の位相を研究すること。
• リーマン面に関する先行結果を高次元の複素射影空間へ拡張すること。
• $\Lambda$-ピンチド同一型微分同相写像がシンプレクティック同倫的に正則等長写像へ写されることを確立すること。
• 同一型微分同相写像のグラフ上で平均曲率フローの長時間存在および滑らかな収束を証明すること。
• $\mathbb{CP}^n$ に対して、同一型微分同相群がその等長写像部分群に幾何的変形再び可能であることを提供すること。

提案手法

• 同一型微分同相写像 $f: \mathbb{CP}^n \to \mathbb{CP}^n$ のグラフは、$\mathbb{CP}^n \times \mathbb{CP}^n$ に、$\pi_1^*\omega - \pi_2^*\omega$ というシンプレクティック形式に関してラグランジュ部分多様体として埋め込まれる。
• このグラフに平均曲率フローを適用し、フービニ＝シュテュルム計量の下でラグランジュ部分多様体としての変形を遂げる。
• 射影 $\pi_1$ のヤコビアンに最大原理を適用することで、部分多様体のグラフィカル性がフローによって保たれることを示す。
• 爆発解析を用いて、第二基本形式の一様有界性により、有限時刻での特異点が排除されることを示す。
• 比較原理を適用し、ピンチング条件が時間とともに改善され、$f_t^*g$ がフービニ＝シュテュールム計量 $g$ に近づくことを示す。
• すべての $t$ に対して第二基本形式の一様有界性を確立し、最小ラグランジュ部分多様体への滑らかな収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均曲率フローは、$\mathbb{CP}^n$ の任意の $\Lambda$-ピンチド同一型微分同相写像を正則等長写像へ変形できるか？
• RQ2 平均曲率フローは、$\mathbb{CP}^n \times \mathbb{CP}^n$ 内の同一型微分同相写像のグラフのグラフィカル性を保つか？
• RQ3 すべての $\Lambda$-ピンチド同一型微分同相写像がシンプレクティック同倫的に等長写像へ写されるような、一様な $\Lambda(n) > 1$ が存在するか？
• RQ4 時間 $t \to \infty$ のとき、フローは滑らかに最小ラグランジュ部分多様体へ収束するか？
• RQ5 $n > 2$ のとき、$\mathbb{CP}^n$ の同一型微分同相群は幾何的フローを用いてその等長写像部分群に変形再び可能か？

主な発見

• $n$ ごとに、計算可能な $\Lambda(n) > 1$ が存在し、$1 < \Lambda < \Lambda(n)$ を満たす任意の $\Lambda$-ピンチド同一型微分同相写像は、正則等長写像へシンプレクティック同倫的である。
• ピンチング条件の下で、$f$ のグラフにおける平均曲率フローはすべての時刻 $t \geq 0$ で滑らかに存在する。
• フロー中、グラフィカル性が維持されるため、すべての $t \geq 0$ に対して $\Sigma_t$ は対応する同一型微分同相写像 $f_t$ のグラフである。
• 時間 $t \to \infty$ のとき、$f_t$ は滑らかに正則等長写像へ収束する。
• $\Sigma_t$ の第二基本形式は $t$ に関して一様有界であり、滑らかな収束を保証する。
• $\mathbb{CP}^n$ の曲率性質によりピンチング条件が時間とともに改善され、$f_t^*g$ は $g$ に近づく。