[論文レビュー] Degenerate Changhee numbers and polynomials of the second kind

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、対数関数および退化指数関数を含む母関数を用いて定義される、第二種退化チャングェー数および多項式を導入する。p進フェルミ的積分およびスターリング数の第一種および第二種といった特別な数列を用いて、これらの多項式とカラーツの退化エーラー多項式、および高階退化チャングェー多項式との間の新しい恒等式を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the degenerate Changhee numbers and polynomials of the second kind which are different from the previously introduced degenerate Changhee numbers and polynomials by Kwon-Kim-Seo (see [11]). We investigate some interesting identities and properties for these numbers and polynomials. In addition, we give some new relations between the degenerate Changhee polynomials of the second kind and the Carlitz's degenerate Euler polynomials.

研究の動機と目的

• これまでに研究されてきた退化チャングェー多項式とは異なる、第二種退化チャングェー数および多項式を定義し、それらを調査すること。
• p進フェルミ的積分を用いて、これらの退化多項式を含む新しい恒等式および性質を確立すること。
• 第二種退化チャングェー多項式とカラーツの退化エーラー多項式との間の関係を明らかにすること。
• スターリング数および退化数列を用いて、高階退化チャングェー多項式の明示的公式を導出すること。
• これらの多項式の畳み込み恒等式および母関数の関係を提示し、それらの組合せ的および算術的性質を深く理解すること。

提案手法

• 母関数 $ \frac{2}{1 + (1 + \lambda \log(1+t))^{1/\lambda}} (1 + \lambda \log(1+t))^{x/\lambda} = \sum_{n=0}^{\infty} Ch_{n,\lambda}(x) \frac{t^n}{n!} $ を用いて、第二種退化チャングェー多項式を定義する。
• 積分恒等式を導出するため、p進フェルミ的積分表現 $ \int_{\mathbb{Z}_p} (1 + \lambda \log(1+t))^{(x+y)/\lambda} d\mu_{-1}(y) $ を用いる。
• 退化パrameterを含む対数関数および指数関数の母関数の操作を適用する。
• 第一種スターリング数 $ S_1(n,k) $ および第二種スターリング数 $ S_2(n,k) $、およびそれらの退化版 $ S_{2,\lambda}(n,k) $ を用いて、多項式の係数を表現する。
• 母関数の積展開を通じて畳み込み恒等式を導出し、たとえば $ \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} Ch_{l,\lambda}^{(k)} Ch_{n-l,\lambda}^{(r-k)}(x) $ のような形をとる。
• 二項係数および符号付きスターリング型和を用いて、高階退化チャングェー多項式と退化エーラー数との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二種退化チャングェー多項式は、どのように体系的に定義され、かつ既存の退化チャングェー多項式と区別されるのか？
• RQ2 これらの多項式のp進フェルミ的積分表現から、どのような恒等式および構造的性質が導かれるのか？
• RQ3 第二種退化チャングェー多項式とカラーツの退化エーラー多項式との間の明確な関係は何か？
• RQ4 高階退化チャングェー多項式は、スターリング数および退化数列とどのように関係しているのか？
• RQ5 母関数技法および組合せ的恒等式を用いて、これらの多項式の明示的閉形式表現を導出できるか？

主な発見

• 第二種退化チャングェー多項式は母関数 $ \sum_{n=0}^{\infty} Ch_{n,\lambda}(x) \frac{t^n}{n!} = \frac{2}{1 + (1 + \lambda \log(1+t))^{1/\lambda}} (1 + \lambda \log(1+t))^{x/\lambda} $ を通じて定義される。
• すべての $ n \geq 0 $、$ r \in \mathbb{N} $ に対して恒等式 $ Ch_{n,\lambda}^{(r)}(x) = \sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} Ch_{l,\lambda}^{(k)} Ch_{n-l,\lambda}^{(r-k)}(x) $ が成り立ち、畳み込み構造を示す。
• 閉形式の表現が得られた： $ Ch_{n,\lambda}^{(r)} = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} (-1)^m m! \binom{r+m-1}{m} 2^{-m} S_{2,\lambda}(k,m) S_1(n,k) $, これは多項式が退化スターリング数と関連していることを示す。
• 関係式 $ \sum_{m=0}^{n} Ch_m^{(r)}(x) S_{2,\lambda}(n,m) = \sum_{m=0}^{n} Ch_{m,\lambda}^{(r)}(x) S_2(n,m) $ を通じて、古典的スターリング数と退化スターリング数が結びつけられる。
• 高階退化チャングェー多項式は $ Ch_{n,\lambda}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \binom{n}{k} (x)_{m,\lambda} S_1(k,m) Ch_{n-k,\lambda}^{(r)} $ を満たし、多変数構造を明らかにする。
• 退化エーラー数 $ \mathcal{E}_{n,\lambda}^{(r)} $ は $ \sum_{m=0}^{n} (-1)^m m! \binom{r+m-1}{m} 2^{-m} S_{2,\lambda}(n,m) $ として表現可能であり、これにより新しい組合せ的公式が得られる。